Groupe fondamental de Morse stable

Cette thèse propose de donner une présentation du groupe fondamental d'une variété exclusivement en à partir de la dynamique du gradient d'une fonction de Morse stable. En général, une interprétation d'un invariant algébrique en termes dynamiques est un outil riche pour explorer les interactions entre ces deux mondes. C'est en particulier l'idée qui est à la base de la théorie de Floer, dont la théorie de Morse stable peut être vue comme un modèle de dimension finie. S'il est bien connu que l'homologie de la variété peut être décrite en termes de la dynamique du flot de gradient d'une fonction de Morse stable, le cas du groupe fondamental est bien plus délicat. En particulier, M. Damian a montré qu'il existe des fonctions de Morse stable ayant strictement moins de points critiques que le nombre minimum de générateurs du groupe fondamental. Le cas des générateurs dans le cadre Morse stable a toute fois été résolu par J.-F. Barraud dans l'article "J.-F. Barraud. A Floer fundamental group. Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), 51(3) :773–809, 2018.", mais une description intrinsèque des relations manquait toujours tout en étant pourtant d'intérêt pour répondre à des questions d'injectivité qui apparaissent naturellement, en particulier dans le l'usage de techniques basées sur le théorème de s-cobordisme. L'idée explorée à plusieurs reprises afin d'obtenir une définition appropriée pour les relations est la réinterprétation de l'action du flot sur un lacet topologique en termes d'espaces de modules de trajectoires de gradient. Le résultat principal du manuscrit est la définition d'une présentation du groupe fondamental de Morse stable dollar pi_1(M,F,g;star) dollar et la preuve de son invariance par rapport aux données fixées. La première partie du manuscrit décrit la présentation connue du groupe fondamental de Morse de la variété, en adoptant un point de vue qui a pour but de se généraliser le plus fidèlement possible au cadre Morse stable. On y détaille précisément la nature des espaces de trajectoires utilisés, leur géométrie et la combinatoire de leurs composantes de bord. La seconde partie du manuscrit propose une présentation du groupe fondamental en théorie de Morse stable. En particulier, de nouveaux espaces de modules sont introduits et étudiés pour fournir des générateurs du sous groupe des relations. On montre alors que le groupe obtenu est invariant et isomorphe au groupe fondamental usuel.