Constructing Grushko and JSJ decompositions : a combinatorial approach

Construction de scindements de Grushko et JSJ : une approche combinatoire La classe des graphes de groupes libres à groupes d'arêtes cycliques constitue une source importante d'exemples en théorie géométrique des groupes, en particulier dans le cadre des groupes hyperboliques. Un résultat récent de Wilton montre qu'un tel groupe à un bout et hyperbolique contient un sous-groupe de surface, répondant à une question attribuée à Gromov. Cette thèse est consacrée à l'étude de ces groupes lorsqu'ils se présentent comme des groupes fondamentaux de certains complexes carrés à courbure négative ou nulle. Les complexes carrés en question, appelés graphes tubulaires de graphes, sont obtenus en attachant des tubes (un tube est un produit cartésien d'un cercle avec l'intervalle unitaire) à une collection finie de graphes finis. Le but principal de cette thèse est de construire deux décompositions de base pour les groupes fondamentaux de graphes tubulaires de graphes : leur décomposition de Grushko et leur décomposition JSJ. Dans la première partie de la thèse, nous développons un algorithme en temps polynomial, dont l'entrée est un graphe tubulaire de graphes, et qui produit le scindement de Grushko de son groupe fondamental. Comme application, nous obtenons une version alternative d'un algorithme de Stallings, qui prend un ensemble fini de mots W dans un groupe libre F de rang fini, et décide s'il existe ou non un scindement libre de F relatif à W. Dans la deuxième partie de la thèse, nous développons un algorithme en temps doublement exponentiel, dont l'entrée est un graphe tubulaire de graphes avec un groupe fondamental hyperbolique à un bout, et qui produit le scindement JSJ du groupe fondamental. Nous remarquons qu'il s'agit du premier algorithme sur les scindements JSJ de groupes avec une borne effective sur la complexité de temps. La principale raison de l'efficacité de cet algorithme est que certaines propriétés asymptotiques du groupe, qui déterminent si le groupe se scinde au dessus un sous-groupe cyclique, admettent des caractérisations locales en raison de la structure cubique CAT(0). Comme application de ce résultat, nous obtenons un algorithme en temps doublement exponentiel, dont l'entrée est un groupe libre F de rang fini muni d'un ensemble fini de sous-groupes cycliques W tels que F est librement indécomposable relatif à W, et qui produit le scindement JSJ de F relativement à W. Une conséquence des résultats ci-dessus est que le problème d'isomorphisme pour les groupes considérés se réduit à l'algorithme de Whitehead.