Bord de Poisson de marches aléatoires sur les groupes et profils isopérimétriques

On étudie les marches aléatoires sur les groupes, et plus généralement les marches induites par des mesures sur des groupes. On cherche à comprendre leur comportement à l'infini, surtout en terme du non-trivialité de leur bords de Poisson. On s'intéresse en particulier aux sous-groupes de H(ℤ), y compris le groupe de Thompson F. Le groupe H(ℤ) est le groupe des homéomorphismes projectifs par morceaux sur les entiers défini par Monod. Pour un sous-groupe H de H(ℤ) de type fini, on montre que soit H est résoluble, soit pour tout mesure sur H dont le premier moment est fini et le support engendre H en tant que semi-groupe, le bord de Poisson de la marche aléatoire sur H est non-trivial. En particulier, on démontre la non-trivialité du bord de Poisson des marches aléatoires sur le groupe de Thompson F pour les mesures sur F dont le support l'engendre en tant que semi-groupe et qui sont de premier moment fini. Cela réponde à une question de Kaimanovich. Considérons une action transitive d'un groupe G de type fini, et le graphe de Schreier Γ que cette action définit pour un ensemble générateur fixé. Pour une mesure de probabilité μ sur G de premier moment fini, on prouve que si la marche aléatoire induite sur Γ est transiente, alors elle converge vers un bout de Γ. On obtient comme corollaire que pour une mesure de probabilité de premier moment fini sur le groupe de Thompson F, dont le support engendre F en tant que semi-groupe, la marche aléatoire induite sur les nombres dyadiques a un bord de Poisson non-trivial. Il est nécessaire d'avoir une hypothèse sur le moment de la mesure d'après un résultat de Juscheno et Zheng. En outre, on calcule les valeurs exactes des fonctions de Følner sur le groupe d'allumeur de réverbères ℤ≀ℤ/2ℤ pour l'ensemble générateur standard et l'ensemble générateur «switch-walk-switch». Les fonctions de Følner encodent les propriétés isopérimétriques des groupes moyennables et ont été auparavant étudiées à équivalence asymptotique prêt (autrement dit, de façon indépendante du choix d'ensemble générateur fini). On obtient aussi une borne inférieure pour les fonctions de Følner d'une classe de produits en couronnes permutationnels (avec certains ensembles générateurs). On l'utilise pour construire une exemple de groupe dont la fonction de Følner a la même exponente que sa fonction de croissance. De plus, on démontre un résultat isopérimétrique par rapport au bord sur les arrêtes sur le groupe de Baumslag-Solitar BS(1,2) avec l'ensemble générateur standard.