Asymptotic properties and Poisson boundaries of wreath product-like groups

Le bord de Poisson et la géométrie asymptotique des produits en couronne et leurs généralisations Dans cette thèse, nous étudions des propriétés combinatoires, géométriques, et probabilistes des produits en couronne ainsi que d’autres extensions de groupes. Ce travail est divisé en deux parties. [1] Géodésiques non extensibles dans des graphes de Cayley. Nous étudions la propriété d’avoir profondeur nonbornée dans les graphes de Cayley des produits en couronne. En d’autres termes, nous cherchons à savoir s’il existent des éléments situés à une distance arbitrairement grande d’autres éléments ayant une longueur de mot plus grande. Nous prouvons que pour tout groupe fini A et tout groupe de type fini B, le produit en couronne A ≀ B admet un ensemble de générateurs standard avec une profondeur non bornée. Si B est abélien, alors ce qui précède est vrai pour tout ensemble générateur standard. Ceci généralise le cas B = ℤ, dû à Cleary et Taback. Lorsque B = H ∗ K pour deux groupes finis H et K, nous caractérisons quels générateurs standards de A ≀ B ont une profondeur non bornée en termes d’une constante géométrique liée aux graphes de Cayley de H et K. [2] Marches aléatoires et bords de Poisson des groupes. D’abord, nous étudions des marches aléatoires sur le groupe FSym(H) ⋊ H, où H est un groupe de type fini et FSym(H) est le groupe des permutations de support fini de H. Nous montrons que pour toute distribution µ des incréments avec un premier moment fini induisant une marche aléatoire transiente sur H, la coordonnée de permutation de la marche aléatoire se stabilise presque sûrement. Notre résultat principal affirme que le bord de Poisson de la marche aléatoire (FSym(ℤ)⋊ℤ, μ) est égal à l’espace des fonctions limites doté de la mesure harmonique correspondante. Cela fournit de nouveaux exemples de bords de Poisson non-triviaux complètement décrits pour un groupe élémentairement moyennable. Ensuite, en collaboration avec Joshua Frisch, nous décrivons complètement le bord de Poisson du produit en couronne A ≀ B des groupes dénombrables A et B, pour toutes les mesures de probabilité µ d’entropie finie et telles que les configurations de lampe se stabilisent presque sûrement. Si en plus la projection de µ sur B a la propriété de Liouville, le bord de Poisson de (A ≀ B, µ) est égal à l’espace de configurations de lampes limites, doté de la mesure harmonique. Cela généralise des résultats précédents de Lyons-Peres pour d ≥ 3 et, en particulier, nous répondons à une question ouverte posée par Kaimanovich et Lyons-Peres pour B = ℤᵈ, d ≥ 3, et des mesures µ avec un premier moment fini.