Dynamical and probabilistic aspects of proximal group actions

Aspects dynamiques et probabilistes des actions proximales de groupes Cette thèse est consacrée à l'étude des actions proximales de groupes dénombrables en dimension un et zéro depuis la perspective de la dynamique et des probabilités. Les résultats sont de nature assez variée. Un fil conducteur, parmi d'autres, est la présence des groupes de Thompson F, T et V ; presque la totalité des résultats s'appliquent à l'un de ces exemples, et sont parfois motivés par ceux-ci. Le Chapitre 2 donne une nouvelle preuve d'une version dynamique de l'alternative de Tits pour le groupe de Thompson V, qui se généralise aisément aux groupes de presque automorphismes d'un arbre enraciné localement fini agissant sur son bord. Le Chapitre 3 montre une version probabiliste de l'alternative de Tits dynamique, due à G. Margulis, pour les groupes agissant minimalement et proximalement par difféomorphismes de S1, dont la preuve est inspiré par le même phénomène pour marches aléatoires sur une groupe linéaire non virtuellement résoluble. La méthode requiert des hypothèses de moment sur les mesures de probabilité pertinentes, et un énoncé plus faible (et plus simple de prouver) reste vrai sans hypothèses de moment pour des sous-groupes d'homéomorphismes de S1. Dans le Chapitre 4 on étudie la question de déterminer sous quelles conditions le bord de Poisson d'un groupe dénombrable agissant sur S1 proximalement et minimalement, équipé avec une mesure de probabilité, s'identifie avec S1 muni de sa unique mesure stationnaire. Nous démontrons que c'est jamais le cas si l'action n'est pas topologiquement libre et la mesure de probabilité sur le groupe a entropie de Shannon finie. Ceci s'applique au groupe de Thompson T, pour lequel on peut donner une preuve alternative et plus courte qui se généralise à des groupes de homéomorphismes affines par morceaux de S1, et répond à une question de B. Deroin et d'Andrés Navas. Ce travail est issu d'une collaboration avec Cosmas Kravaris et Eduardo Silva. Le Chapitre 5 étudie l'existence de bords stationnaires sur l'espace de sous-groupes moyennables d'un groupe dénombrable, motivé par des liens avec la C*-simplicité de groupes dénombrables. On trouve un critère sur la dynamique du groupe agissant par conjugaison sur son espace de sous-groupes moyennables pour assurer l'existence d'un bord dans tel espace (pour une certaine mesure de probabilité sur le groupe) et on l'applique à des produits en couronne et au groupe de Thompson F. On exhibe une vaste classe de groupes exhibant de la courbure non positive et qui n'admettent pas de tels bords pour n'importe quelle mesure de probabilité. Ce travail est issu d'une collaboration en cours avec Anna Cascioli et Eduardo Silva. Finalement, le Chapitre 6 étudie la classe de groupes dénombrables tels que la relation de conjugaison entre ses actions minimales par homéomorphismes de la droite admet une transversale Borélienne. On démontre que cette classe est close pour certaines opérations entre groupes, et qu'elle inclut tous les groupes de type fini qui se plongent dans le groupe d'homéomorphismes projectifs par morceaux de la droite. Ce travail est issu d'une collaboration avec Joaquín Brum et Nicolás Matte Bon.