Flots d'Anosov en dimension trois construits par recollements de blocs

On s'intéresse aux flots d'Anosov, qui forment une famille très importante de systèmes dynamiques chaotiques. La stabilité structurelle de ces flots en fait des candidats privilégiés à une classification des classes d'équivalence orbitale, ce qui est encore aujourd'hui la motivation de nombreux travaux. Les flots d'Anosov sont également remarquables pour les interactions qui apparaissent entre la dynamique du flot et la topologie de la variété qui le porte, et ce particulièrement en dimension trois. Cette thèse s'inscrit dans cet angle d'étude. L'objet principal de cette thèse est de démontrer un résultat permettant de construire des flots d'Anosov en dimension trois en recollant des blocs de constructions. Pour nous, un bloc de construction sera une variété de dimension trois compacte à bord, munie d'un champ de vecteurs, tel que l'ensemble maximal invariant du flot engendré est hyperbolique, et dont le bord est quasi-transverse au champ de vecteurs, c'est-à-dire transverse en dehors d'un nombre fini d'orbites périodiques contenues dans le bord. Dans la première partie de cette thèse, on montre qu'il existe des conditions générales suffisantes pour recoller les bords de blocs de construction et obtenir une variété fermée munie d'un flot d'Anosov induit par le champ de vecteurs initial. Ce théorème de recollement généralise un théorème prouvé il y a quelques années par F. Béguin, C. Bonatti et B. Yu qui considéraient seulement des blocs de constructions dont le bord est transverse au champ de vecteurs. Cette généralisation est naturelle dans la mesure où T. Barbot et S. Fenley ont montré que tout tore incompressible plongé dans un flot d'Anosov en dimension trois est homotope à un tore quasi-transverse au flot. Ce résultat, allié à la décomposition JSJ des variétés de dimension trois permet d'obtenir (modulo des éventuelles singularités) un découpage canonique d'un flot d'Anosov en blocs de construction dont le bord est quasi-transverse au flot. Notre théorème de recollement peut alors se voir comme une sorte de réciproque du théorème de décomposition de T. Barbot et S. Fenley. Dans une seconde partie, on étudie les applications de ce théorème de recollement. On montre un résultat de réalisation de bi-feuilletage quasi-transverse sur un tore incompressible plongé dans un flot d'Anosov transitif. On étudie les propriétés dynamiques des blocs de constructions, et l'on donne un critère nécessaire et suffisant pour qu'un type géométrique abstrait soit réalisé sur une partition de Markov dans un bloc de construction vérifiant de bonnes propriétés. On montre que l'on peut réaliser des complémentaires d'orbites périodiques de flot d'Anosov ou pseudo-Anosov en tant que pièces JSJ de flot d'Anosov transitif. Pour finir on montre que l'on peut, sous des conditions minimales, recoller des pièces découpées le long d'une collection de tores incompressibles plongés dans un flot d'Anosov alignable penché.