Classifying Anosov flows in dimension 3 by geometric types

Sur la classification des flots d'Anosov en dimension 3 par des types géométriques Dans cette thèse, nous allons décrire une nouvelle approche au problème de la classification des flots d'Anosov transitifs en dimension 3 à équivalence orbitale près. A un flot d'Anosov quelconque supporté par une 3-variété fermée et connexe M, il est connu qu'on peut naturellement associer (à conjugaison près) une action du groupe fondamental de M sur un plan muni de deux feuilletages transverses, autrement connu comme le plan bifeuilleté du flot. Un résultat de T.Barbot affirme que cette action contient toute l'information du flot initial et permet aussi de le reconstruire à orbite équivalence près. Notre approche consiste à classifier les actions de groupes associées à des flots d'Anosov par des partitions de Markov.Dans un premier temps, nous allons définir une notion de partition de Markov pour une action de groupe dans un plan qui préserve deux feuilletages transverses. Cet objet sera appelé une famille Markovienne et consistera un objet central de notre étude. Nous allons ensuite démontrer qu'à un flot d'Anosov transitif en dimension 3 on peut associer une infinité de familles Markoviennes.Une famille Markovienne étant une information combinatoire infinie, dans un second temps, nous allons associer canoniquement à chaque famille Markovienne un objet combinatoire fini, qui s'appellera un type géométrique. Une grande partie de cette thèse sera consacrée à l'étude de cet objet. On va prouver que le type géométrique d'un flot d'Anosov transitif en dimension 3 est un invariant du flot modulo des chirurgies de Dehn-Goodman-Fried sur des orbites périodiques qu'on pourra spécifier. Il va en découler qu'en rajoutant canoniquement une information combinatoire en plus dans le type géométrique, on peut définir un invariant fini du flot initial à équivalence orbitale près. On va appeler cet invariant un type géométrique à cycles.Enfin, nous allons décrire certaines applications des types géométriques à cycles dans la classification des flots d'Anosov en dimension 3 et certaines questions ouvertes autour de ce sujet.