Dehn surgeries and smooth structures on 3-dimensional transitive Anosov flows.

Chirurgies de Dehn et structures différentielles associées aux flots d'Anosov transitifs en dimension trois. Cette thèse porte sur les chirurgies de Dehn et les structures différentielles associées aux flots d'Anosov transitifs en dimension trois. Les flots d'Anosov constituent une classe très importante des systèmes dynamiques, par leurs propriétés chaotiques persistantes par perturbations, autant que par leur riche interaction avec la topologie de la variété ambiante. Bien que beaucoup soient connus sur le comportement dynamique et ergodique de ces flots, il n'y a pas une compréhension assez claire sur la classification de ses différentes classes d'équivalence orbitale. Jusqu'à ce moment, les plus grands progrès ont été fait en dimension trois, où il y une famille de techniques pour la construction d'exemples de flot d'Anosov connue comme chirurgies.Pendant la réalisation de cette thèse, dans un premier temps nous nous sommes intéressés à une chirurgie en particulier, connue comme la chirurgie de Goodman. Cette procédure consiste à choisir une orbite périodique du flot et réaliser une chirurgie de Dehn autour de cette orbite, adaptée au flot d'une façon telle qu'on obtient une nouvelle variété munie d'un flot d'Anosov. La problématique que soulève cette technique est que, pour la réalisation de la chirurgie, un des paramètres à choisir est une surface plongée dans la 3-variété et un difféomorphisme défini sur elle. De ce fait, l'espace de paramètres est, a priori, de dimension infinie et, pourtant, ce n'est pas facile d'avoir un contrôle sur la classe d'équivalence du flot obtenu par cette méthode. Il existe une deuxième procédure, qui peut-être interprétée comme une version infinitésimale de celle qui précède, connue comme la chirurgie de Fried. Celle-ci consiste à éclater l'orbite périodique, obtenant de ce fait un flot défini sur une variété à bord, puis collapser cette composante de bord d'une façon non-triviale et produire un nouveau flot. Cette chirurgie produit des flots univoquement définis, mais ceux-ci ne sont pas munis d'une structure hyperbolique naturelle. Ils sont, par construction, flots topologiquement d'Anosov.Notre contribution consiste à montrer que, si on assume de plus que les flots sont transitifs, alors une chirurgie de Goodman et une chirurgie de Fried autour de la même orbite périodique produisent des flots équivalents, à égal élection de paramètres entiers.Dans un second temps nous avons travaillé sur une question un peu plus abstraite, mais qui est naturellement liée à certaines procédures techniques dans la construction de flots hyperboliques. C'est le problème de savoir si tout flot dit topologiquement d'Anosov (i.e. expansif et qui satisfait la propriété de shadowing de Bowen correspond à un flot hyperbolique différentiable, à équivalence orbitale près. Dans le cas particulier où le flot est transitif, il est connu depuis très longtemps qu'il peut être muni d'une structure non-uniformément hyperbolique définie dans le complémentaire d'un ensemble fini d'orbites périodiques. La plus grande difficulté est de construire des modèles (globalement) hyperboliques associés au flot original.Dans ce contexte, notre contribution consiste à montrer que tout flot topologiquement d'Anosov et transitif, défini dans une variété de dimension trois, est orbitalement équivalent à un flot d'Anosov lisse.