Le spectre du sous-laplacien sur les variétés CR strictement pseudoconvexes

Le but de cette thèse est d’étudier le spectre du sous-laplacien sur les variétés CR strictement pseudoconvexe. Nous prouvons que le spectre du sous-laplacien ∆_b est discret sur un domaine borné Ω⊂M d’une variété CR strictement pseudoconvexe qui satisfait l’inégalité de Poincaré, sous les conditions de Dirichlet au bord. Nous étudions le comportement des valeurs propres du sous-laplacien ∆_b sur une variété C] strictement pseudoconvexe compacte M, en tait que fonctionnelle sur l’espace P_+ de formes de contact positivement orientées sur M en dotant P_+ d’une topologie métrique naturelle. Nous établissons des inégalités pour les valeurs propres de ∆_b sur des variétés CR strictement pseudoconvexes (éventuellement à bord non vide). Nos estimations prolongent les résultats d, tenus par P-C. Niu \& H. Zhang \cite{NiZh) pour les valeurs propres du sous-laplacien avec conditions de Dirichlet au bord sur un domaine borné du groupe de Heisenberg, et sont dans l’esprit des inégalités de Payne-PV(o)lya-Weinberger et Yang. Nous obtenons une nouvelle borne inférieure sur la première valeur propre non nulle λ1_(θ) du sous-laplacien ∆_b sur une variété CR strictement pseudoconvexe compacte M munie d’une forme de contact θ dont la connexion de Tanaka-Webster est à courbure de Ricci minorée.