Boundary determination for the Steklov inverse problem

Détermination au bord pour le problème inverse de Steklov Ce travail s'inscrit dans la vaste tradition des problèmes inverses spectraux, dont l'idée générale peut être résumée par la célèbre question de Kac dans les années 1960 au sujet du spectre du Laplacien : "Peut-on entendre la forme d'un tambour ?". Nous abordons ici le problème analogue pour l'opérateur de Dirichlet-à-Neumann (DN map) ou opérateur de Steklov : Dans quelle mesure la géométrie d'une variété Riemannienne compacte à bord, ou un coefficient d'un problème avec conditions au bord (par exemple un potentiel électrique ou magnétique), peut-elle être déterminée de manière unique à partir du spectre de cet opérateur ? Ce spectre, appelé spectre de Steklov, consiste en une suite croissante de valeurs propres réelles, et, tout comme dans le cas du spectre du Laplacien, il est en fait bien connu qu'il ne détermine en général ni la structure Riemannienne ni un potentiel. Cette thèse s'attache donc à l'inverse, à donner des classes d'exemples, pour lesquels l'unique détermination est vraie, autrement dit à apporter des réponses positives au problème inverse de Steklov. Dans l'esprit de Guillemin-Kazhdan, on étudie d'abord le problème linéarisé ou rigidité infinitésimale: une déformation Steklov isospectrale est une famille lisse à un paramètre de métriques Riemanniennes préservant le spectre de Steklov. Un résultat est obtenu pour les métriques conformes : si le bord est Anosov et que son spectre des longueurs est simple, pour une métrique initiale donnée, alors ses jets au bord (i.e. la donnée de ses séries de Taylor en chaque point du bord) sont préservés le long de toute déformation conforme Steklov isospectrale. Concernant le problème non linéaire, des résultats positifs sont également établis en dimension n≥3, sous les mêmes hypothèses dynamiques sur le flot géodésique du bord. On démontre que la connaissance du spectre de Steklov détermine les jets au bord de la métrique Riemannienne sous-jacente au sein de sa classe conforme, pourvu que les métriques coïncident au bord. Comme corollaire simple, en supposant que le facteur conforme soit analytique réel, de telles métriques Steklov isospectrales doivent être égales. L'idée principale consiste à exploiter des formules de trace d'onde pour montrer que le spectre de Steklov détermine les intégrales de données au bord appropriées le long des géodésiques fermées, puis à appliquer les résultats d'injectivité de la transformée à rayons X géodésique sur les variétés Anosov fermées. Les techniques mises en places sont étendues aux opérateurs de type Schrödinger et aux opérateurs magnétiques, permettant ainsi de récupérer les jets au bord des potentiels électriques et des champs magnétiques à partir du spectre.