Birational automorphisms of varieties

Automorphismes birationnels des variétés La thèse couvre divers problèmes portant sur les groupes d'automorphismes réguliers et birationnels de variétés algébriques complexes, et explore les différences et les similitudes entre ces deux groupes.Dans un premier temps, nous nous intéressons à la description des sous-groupes finis du groupe des automorphismes birationnels Bir(X) d'une variété complexe rationnellement connexe X de dimension 3. Nous prouvons que tout 3-sous-groupe peut être généré par au plus 5 éléments et dans tous les cas sauf deux, il peut être généré par au plus 4 éléments. Nous décrivons également le groupe des automorphismes réguliers Aut(S) d'une surface quasi-projective S définie sur un corps k tel que char(k) > 0. Nous montrons que ce groupe satisfait la propriété p-Jordan. L'un des principaux ingrédients ici est le programme du modèle minimal (MMP), qui nous permet de réduire des questions sur les groupes finis de transformations birationnelles à la classification de groupes d'automorphismes réguliers de variétés algébriques très particulières obtenues après application du MMP.Ensuite, nous considérons des automorphismes birationnels d'ordre infini, et essayons de comprendre quand il est possible de construire un modèle birationnel où l'automorphisme induit est régulier. Nous nous intéressons principalement à l'exemple d'automorphismes birationnels d'une variété rationnelle de dimension 3 introduits par J. Blanc. Cet automorphisme birationnel induit un pseudo-automorphisme sur un modèle birationnel spécial de P^3, c'est-à-dire qu'il a un petit lieu extrémal ; par conséquent, il est proche d'être régulier. Cependant, le résultat principal de la deuxième partie de la thèse est que ces applications ne sont pas conjuguées à des automorphismes réguliers. L'approche que nous adoptons dans cette partie est de nature dynamique, et l'action des automorphismes birationnels sur les espaces de Néron-Severi joue un rôle important.La dernière partie de la thèse porte sur la description du groupe d'automorphismes d'une classe de variétés non-Kählériennes introduite par D. Guan et étudiée plus en détails par F. Bogomolov. Ces variétés sont des analogues non-Kähler des variétés hyperkählériennes, et leurs propriétés sont relativement similaires. Selon la construction de Bogomolov, ces variétés fibrent sur l'espace projectif avec des variétés abéliennes comme fibres génériques; ainsi, des outils algébriques peuvent être utilisés pour étudier leur géométrie. Plus précisément, nous prouvons que la réduction algébrique de la variété Bogomolov-Guan de dimension 2n est l'espace projectif de dimension n, puis nous étudions le lieu des fibres singulières d'une réduction algébrique et concluons que le groupe des automorphismes réguliers des variétés Bogomolov-Guan est Jordan. Dans le cas de la dimension 4 il en est de même pour le groupe des automorphismes biméromorphes.