Transport laplacien, problème inverse et opérateurs de Dirichlet-Neumann

Le travail de ma thèse est basé sur ces 4 points : i) Transport laplacien d'une cellule absorbante : Soit un certain espèce (cellule) de concentration C(x), qui diffuse dans un milieu homogène et isotrope à partir d'une lointaine source localisée sur la frontière fermée ∂Ω₀ vers une interface compact semi-perméable ∂Ω (membrane de la "cellule") à laquelle elle disparaisse à un taux d'absorption donné : W≥0. La concentration C (transport laplacien avec un coefficient de diffusion D) satisfaite le problème (P1) (voir la thèse). On s'intéresse à résoudre le problème (P1) en dimension dim = 2; 3 et à calculer les courants local et total à travers les frontières des ∂Ω et ∂Ω₀ qui seront utiles pour résoudre le problèmeinverse de localisation. Pour faciliter les calculs et les rendre explicites, on prend ∂Ω et ∂Ω₀ avec des formes géométriquement régulières, précisément des boules, en distinguant les deux cas : Ω et Ω₀ sont concentriques ou non-concentriques. Pour le cas non-concentriques , on utilise la technique de transformation conforme et le développement orthogonal en série de Fourier pour résoudre le problème (P1) en cas bidimensionnel. Tandis que en cas tridimensionnel, on résout le problème (P1) en utilisant le développement orthogonal suivant les fonctions sphériques harmoniques. ii) Problème inverse de localisationOn s'intéresse dans cette partie à résoudre le problème inverse de localisation associé au problème (P1) où les domaines Ω et Ω₀ sont considérés avec des formes géométriques régulières (précisément des boules) . Ce problème consiste à trouver les conditions de Dirichlet-Neumann sur ∂Ω₀ (courant local, courant total) suffisantes pour déterminer la position de la cellule ∂ (par rapport à Ω₀), dont ces conditions sont disponibles par une suite des mesures expérimentales. iii) Problème invesre géomètrique : Dans cette partie on traite un autre type de problème inverse qui consiste à trouver la forme géométrique de la cellule en sachant les conditions de Dirichlet-Neumann au bord extérieur(∂Ω₀) qui sont mésurables par une suite d'expérience. Ce type du problème, on l'appelle le problème inverse géométrique. On résout ce problème en utilisant des techniques concernant les fonctions harmoniques et les transformations conformes. iv) Opérateur de Dirichlet-Neumann. On étudie l'opérateur de Dirichlet-Neumann relatif au problème (P1) dans les dimension deux et trois en distinguant les deux cas concentriques et non-concentriques. Ensuite, on montre que cet opérateur de Dirichlet-Neumann engendre certain semi-groupe qu'on l'appelle semi-groupe de Lax. Enfin, on construit ce semi-groupe de Lax associé à cet opérateur en cas tridimensionnel concentriques afin de vérifier que ce semi-groupe admet les mêmes propriétés que celui dans le cas général.