Estimations uniformes pour des problèmes de transmission à changement de signe : Liens avec les triplets de frontière et la quantification de l’incertitude

Présentation du domaine: Il s'agit d'étudier des opérateurs différentiels sur des variétés riemanniennes singulières et leurs applications. Parmi les opérateurs les plus importants, on trouve les opérateurs de Laplace et de Dirac. Il y a beaucoup de connexions entre les deux types d'opérateurs, à cause de la formule de Lichnerowicz, un mathématicien français du dernier siècle. Pourtant, les opérateurs de Laplace ont été beaucoup plus étudiés que les opérateurs de Dirac. Les opérateurs de Dirac, aussi appelé opérateurs d'Atiyah--Singer, sont des opérateurs fondamentaux dans la géométrie riemannienne et dans la théorie de l'indice. Ce sont des opérateurs associés à une métrique et à un fibré de Clifford doté d'une connexion admissible. Leurs généralisations est l'objet principal dans la théorie de Kasparov, qui est un utile fondamental dans les algèbres d'opérateurs. Il y a beaucoup de gens qui pensent que les opérateurs de Dirac joueront un rôle central dans le programme de Grothendieck: généraliser le théorème de Riemann--Roch aux variétés algébriques singulières. Les opérateurs de Dirac ont donc été beaucoup étudiés dans les mathématiques fondamentales, ainsi que dans ces applications. Les opérateurs de Maxwell et de de Rham sont des cas particuliers des opérateurs de Dirac. Les opérateurs de Dirac apparaissent dans beaucoup d'applications dans d'autres domaines des mathématiques et physique théorique, comme la théorie des champs dans l'espace-temps courbe ou la théorie de la relativité générale. Ces opérateurs constituent donc un lien entre les mathématiques fondamentales et ces applications. Sujet de thèse: Il y a beaucoup de résultats sur l'analyse des opérateurs de Dirac, mais la plupart d'eux sont sur des variétés compactes lisses, avec ou sans bord. Cependant, il est important d'étudier ces opérateurs pour des variétés non compactes ou non lisses. Par exemple, les applications aux variétés algébriques et au programme de Grothendieck nécessitent le cas non lisse. Le sujet que nous proposons est d'utiliser les résultats et les techniques introduites par Monique Dauge et ses collaborateurs pour étudier les singularités des opérateurs de Dirac dans un domaine polyédrique et d'autres domaines singuliers. Un problème particulier est d'obtenir l'application au calcul de l'homologie de Rham avec des complexes finis, comme dans les travaux récents de Douglas Arnold. Pour la régularité des solutions de l'équation de Dirac, nous proposons d'utiliser les méthodes introduites récemment par Bernd Amman et Nadine Grosse ou par Victor Nistor et Nadine Grosse dans des articles récents. Nous allons étudier aussi les opérateurs de Dirac avec des potentiels et terms non linéaires. Un problème concret ici est d'étudier de modèles non linéaires couplés avec Maxwell, par exemple les modèles de magnéto-hydrodynamique et l'équation de Vlasov--Maxwell.