Uncertainty quantification for inverse problems

Quantification d'incertitude pour les problèmes inverses Cette thèse est consacrée à la quantification d'incertitude dans les problèmes inverses. Dans une première partie, nous considérons le problème de localisation de sources en cherchant à fournir des garanties théoriques. Sachant que cette stratégie dépend fortement de la structure du problème et de l'estimateur utilisé, nous proposons dans une deuxième partie une stratégie plus générale : une méthode numérique de quantification d'incertitude applicable à tout problème inverse et estimateur.Nous commençons par explorer un problème inverse de localisation de source, motivé notamment par les applications en microscopie de localisation de molécule unique. Le dispositif de mesure est modélisé comme un signal flou par convolution avec un noyau connu, suivi d'un échantillonnage spatial. L'objectif est de retrouver la position inconnue d'une source à partir de mesures bruitées. Nous nous concentrons sur un cas simplifié mais représentatif à une seule source. Cette hypothèse est fréquent justifiée en microscopie, où les émetteurs sont activés de manière sporadique et séquentielle. Pour estimer la position de la source, nous analysons les performances de l'estimateur du maximum de vraisemblance (MLE), obtenu via un problème d'optimisation non convexe. Afin de quantifier rigoureusement l'incertitude associée au MLE, nous adoptons une approche probabiliste fondée sur des inégalités de concentration. Cela permet d'établir des garanties théoriques sur la précision de l'estimateur. Bien que le modèle soit idéalisé, il capture des difficultés essentielles communes à de nombreux systèmes d'imagerie réels et sert de base pour généraliser à des modèles multi-sources ou mal posés.Dans la deuxième partie, nous étudions la quantification d'incertitude dans les problèmes inverses via l'approximation des régions d'incertitude qui sont des ensembles de paramètres produisant des sorties proches d'une observation donnée dans une tolérance définie. Ces régions reflètent l'ambiguïté intrinsèque de ces problèmes inverses et sont au cœur de l'identifiabilité pratique locale. Pour y parvenir, nous introduisons Jackpot, un algorithme déterministe et adapté à la grande dimension conçu pour approximer localement la région d'incertitude autour d'une estimation de référence. Jackpot construit de manière déterministe une variété de faible dimension approximant cette région par rapport à la distance de Hausdorff, même en présence de modèles fortement non linéaires, non convexes et non algébriques. Contrairement aux approches symboliques (limitées aux modèles polynomiaux) ou aux méthodes par échantillonnage (coûteuses et moins fiables en grande dimension), Jackpot exploite la différentiation automatique et des méthodes d'optimisation, ce qui le rend applicable à des modèles complexes en grande dimension. Cette généralité permet d'analyser l'incertitude dans des modèles issus de systèmes dynamiques, de réseaux de neurones, etc. L'algorithme est efficace, interprétable et offre un moyen de visualiser et quantifier des régions de l'espace des paramètres indiscernables en pratique à partir d'une mesure.Enfin, en lien avec l'importance de la segmentation en microscopie, nous avons développé Sketchpose, un outil innovant pour segmenter des images biologiques (cellules, bactéries). Sketchpose utilise une approche d'apprentissage frugal, capable de segmenter avec précision à partir d'annotations partielles (tels que des traits partiels d'annotations de cellules ou d'arrière-plan), réduisant fortement le besoin d'étiquetage exhaustif. Le système s'appuie sur l'apprentissage de cartes de distance aux bordures de cellules pour propager l'information limitée et prédire les contours complets des objets. Cette approche stabilise l'apprentissage avec des données partielles.