Analysis and control of parabolic partial differential equations with application to tokamaks using sum-of-squares polynomials

Analyse et contrôle des équations aux dérivées partielles parabolique aide de polynômes somme des carrés avec une application sur les tokamaks Dans ce travail, nous abordons les problèmes de l'analyse de la stabilité et de la synthèse de contrôleur pour une Equation aux Dérivées Partielles (EDP) parabolique linéaire de dimension 1. Ces problèmes sont résolus avec des méthodologies analogues au cadre des inégalités matricielles linéaires (LMI) pour les équations différentielles ordinaires (EDO). Nous développons une méthode pour EDP paraboliques dans laquelle nous testons la faisabilité de certaines LMIs utilisant la programmation semi-définie (SDP) pour construire des fonctions de Lyapunov quadratiques et des contrôleurs. Le cœur de notre démarche est la construction de fonctions de Lyapunov quadratiques paramétrées par les opérateurs définis positifs sur les espaces de Hilbert de dimension infinie. Contrairement aux matrices positives, il n'y a pas de méthode unique paramétrisant l'ensemble des opérateurs positifs sur un espace de Hilbert. Bien sûr, nous pouvons toujours paramétrer un sous-ensemble des opérateurs positifs en utilisant, par exemple, des scalaires positifs. Cependant, nous devons nous assurer que le paramétrage des opérateurs positifs ne doit pas être conservatif. Notre contribution est de construire une paramétrisation qui a seulement une petite quantité de conservatisme comme indiqué par nos résultats numériques. Nous utilisons des polynômes en somme des carrés (SOS) pour paramétrer l'ensemble des opérateurs positifs, linéaire et bornés sur les espaces de Hilbert. Comme son nom l'indique, un polynôme SOS est celui qui peut être représenté comme une somme de polynômes carrés. La propriété la plus importante d'un polynôme SOS est qu'il peut être représenté au moyen d'une matrice (semi-)définie positive. Cela implique que, même si le problème de polynôme (semi-)positif est NP-difficile, le problème de vérifier si polynôme est SOS (et donc (semi-)positif) peut être résolu en utilisant la SDP. Par conséquent, nous nous efforçons de construire des fonctions de Lyapunov quadratiques paramétrées par les opérateurs positifs. Ces opérateurs positifs sont à leur tour paramétrés par des polynômes SOS. Cette paramétrisation SOS nous permet de formuler le problème de faisabilité pour l'existence d'une fonction de Lyapunov quadratique comme un problème de faisabilité LMI. Le problème de la faisabilité LMI peut alors être adressé à l'aide de SDP. Dans la première partie de la thèse nous considérons analyse de stabilité et la synthèse de contrôleur aux frontières pour une large classe d'EDP paraboliques. Les EDP ont des coefficients de transport distribués spatialement. Ces EDP sont utilisés pour modéliser les processus de diffusion, de convection et de réaction de quantités physiques dans les milieux anisotropes. Nous considérons la synthèse de contrôleurs limite à la fois pour le cas de retour d'état et le cas de retour de sortie (à l'aide d'un observateur). Dans la deuxième partie de la thèse, nous concevons un contrôleur distribué pour la régulation du flux magnétique poloïdal dans un tokamak (procédé de fusion thermonucléaire par confinement magnétique). Tout d'abord, nous concevons un contrôleur régulant la pente des lignes de champ magnétique (le facteur de sécurité). La régulation du profil du facteur de sécurité est importante pour supprimer les instabilités MHD dans un tokamak. Ensuite, nous concevons un contrôleur maximisant la densité de courant bootstrap généré en interne. Une proportion accrue du courant bootstrap conduirait à une réduction des besoins énergétiques exogènes pour l'exploitation d'un tokamak.