Analyse mathématique et simulations de modèles de pollution des eaux souterraines au Burkina Faso.

Tout au long de cette thèse, nous avons étudié théoriquement et numériquement des problèmes d'advection-diffusion classiques et fractionnaires. Pour mener à bien notre étude, nous avons commencé en donnant dans un premier chapitre les préliminaires nécessaires à la réalisation de nos objectifs et nous nous sommes inspirés du problème classique pour donner un sens aux mêmes familles de problèmes avec les dérivées fractionnaires de Riemann-Liouville. Ensuite, dans un deuxième chapitre, nous avons considéré le problème d'advection-diffusion classique puis nous avons construit des schémas numériques Euler explicites en 1D et en 2D associés au même problème en vue d'une comparaison avec le problème fractionnaire pour le cas limite s=1 dans les mêmes conditions de simulations. Enfin dans un troisième chapitre, après avoir remplacé dans le problème classique le Laplacien ∆^( )par un Laplacien fractionnaire 〖(-∆)〗^(s ) 0<s<1, nous avons formé un deuxième problème qui est le problème d'advection-diffusion fractionnaire. Avec ce deuxième problème nous avons construit des schémas numériques de types Euler Explicite et Crank-Nicolson d'une part pour montrer que le Laplacien fractionnaire favorise la diffusion comparativement au laplacien classique et d'autre part pour réaliser une comparaison dans les mêmes conditions de simulations entre les solutions numériques du problème fractionnaire et celles du problème classique pour le cas limite s=1. En outre, dans un quatrième et dernier chapitre, en ajoutant un terme de perturbation -ε∆ C au deuxième problème a conduit à la formation d'un troisième et dernier problème considéré dans le cadre de cette étude qui est le problème d'advection-diffusion fractionnaires avec perturbation. Après avoir étudié l'existence et l'unicité de la solution dans des espaces de Hilbert pour chacun des trois problèmes considérés, nous avons d'une part prouvé la stabilité et convergence des schémas numériques en 1D et en 2D associés à chacun de ces problèmes et d'autre part nous avons réalisé des simulations numériques en dimension 1 et 2 pour chacun des problèmes retenus dans le cadre de cette étude. Le but de ces simulations était de valider les ordres de convergences des schémas numériques associés à chacun des trois problèmes et de montrer d'une part que le problème impliquant un Laplacien Fractionnaire 〖(-∆)〗^(s ) 0<s<1 converge vers le problème classique lorsque s→ 1 et d'autre part que le problème impliquant un terme de perturbation -ε∆ C converge vers le problème non régularisé lorsque ε→ 0.