Sur le flot de l’équation d’Euler à surface libre

L'équation d'Euler à surface libre décrit l'évolution de l'interface séparant l'air d'un fluide parfait irrotationnel. C'est un système de deux équations couplées : l'équation d'Euler à l'intérieur du domaine et une équation cinématique qui décrit les déformations du domaine. Les 4 travaux qui constituent le corps de cette thèse peuvent être divisés en trois sujets connectés au problème de Cauchy du système des water waves. Dans le prolongement des travaux de [2, 4, 5, 7], où les auteurs ont montré que le problème de Cauchy pour le système des water waves est bien posé et que le flot est continu sur des espaces de Sobolev suffisamment réguliers, nous montrons :- Dans [60] que le système des water waves avec ou sans tension de surface est quasi-linéaire au sens le plus fort du terme, c'est-à-dire que le flow n'est pas uniformément continu. De plus, dans le cas avec tension de surface, nous montrons que pour avoir une estimation Lipschitz sur le flot, il faut au moins une perte de dérivée. Plus généralement, pour l'équation de Burgers avec terme dispersif de la forme, nous montrons qu'il faut au moins une perte de dérivées pour assurer un contrôle Lipschitz sur le flot.- Dans [61], nous montrons que les résultats obtenus dans [60] sont effectivement optimaux, c'est-à-dire que pour l'équation de Burgers avec un terme dispersif,alphain le flot est effectivement Lipschitz de pour des données initiales périodiques de moyenne nulle. Pour le système des water waves avec tension de surface en deux dimensions d'espace, nous montrons qu'après re-normalisation, le flot est bien Lipschitz au prix d'une perte de dérivés. Afin de démontrer les résultats dans [61], nous avons développé une généralisation para-différentielle d'une transformation de jauge complexe de type Cole-Hopf introduite pour la première fois par T. Tao pour l'équation de Benjamin-Ono. Dans [62], nous l'utilisons pour améliorer les résultats connus sur une conjecture numérique due à Saut et Klein dans [45] sur l'équation de Burgers dispersive. Ce qui, à la connaissance de l'auteur, est la première fois que la transformation de jauge est mise en œuvre à cette fin pour. Afin de démontrer les différents résultats dans [60, 61, 62], nous avons étudié et affiné différents résultats connus en calcul paradifférentiel. Plus précisément, dans [59], nous améliorons certaines estimations sur l'opérateur de paracomposition introduit par Alinhac, nous donnons une preuve du changement de variables dans le calcul paradifférentiel et enfin nous étudions comment le support du cut-off fréquentiel varie après la composition d'opérateurs para-différentiels.