Les nombres de Catalan et le groupe modulaire PSL2(Z)

Dans ce mémoire de thèse, on étudie le morphisme de monoïde mudu monoïde libre sur l'alphabet des entiers nb,`a valeurs dans le groupe modulaire PSL2(zb),considéré comme monoïde, défini pour tout entier a par mu(a)=begin{pmatrix} 0 & -1 1 & a+1 end{pmatrix}.Les nombres de Catalan apparaissent naturellement dans l'étudede sous-ensembles du noyau de mu.Dans un premier temps, on met en évidence deux systèmes de réécriture, l'un sur l'alphabet fini {0,1}, l'autresur l'alphabet infini des entiers nb et on montreque ces deux systèmes de réécriture définissent des présentations de monoïde de PSL2(zb) par générateurs et relations.Par ailleurs, on introduit le morphisme d'indice associé `a l'abélianisé du rev^etement universel de PSL2(zb),le groupe B3 des tresses `a trois brins. Interprété dans deux contextes différents,le morphisme d'indice est associé au nombre de "demi-tours".Ensuite, dans les quatrième et cinquième parties, on dénombre des sous-ensembles du noyau de mu{|{0,1}} etdu noyau de mu, bigradués par la longueur et l'indice. La suite des nombres de Catalan et d'autres diagonales du triangle de Catalan interviennent simplement dans les résultats.Enfin, on présente l'origine géométrique de cette étude : on explicite le lien entre l'objectif premier de la thèse qui était l'étudedes polygones convexes entiers d'aire minimale et notre intéret pour le monoïde engendré par ces matrices particulières de PSL2(zb).