Probabilistic distribution of prime numbers and ideals : Hooley's conjecture and Chebyshev's bias

Répartition probabiliste des nombres et idéaux premiers : conjecture de Hooley et biais de Chebyshev Cette thèse s'intéresse à deux sujets importants en théorie analytique des nombres : le biais de Chebyshev dans les corps des nombres et la variance des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Le biais de Chebyshev désigne le fait que les nombres premiers tendent à favoriser certaines classes de résidus par rapport à d'autres. Ce phénomène a été observé pour la première fois par Chebyshev dans le cadre classique de la répartition des nombres premiers modulo 4 et a ensuite été étudié de façon systématique par Rubinstein et Sarnak via la notion de distribution limite et les zéros des fonctions L de Dirichlet. Ce travail a ensuite été étendu par Nathan Ng, puis par d'autres auteurs, au cadre des corps de nombres. En particulier, Fiorilli et Jouve ont démontré inconditionnellement que, contrairement au cas classique, des cas extrêmes de biais de Chebyshev peuvent apparaître dans les corps de nombres. Ce résultat a servi de point de départ au présent travail. Nous étendons et généralisons d'abord leurs résultats inconditionnels. Puis, sous certaines hypothèses classiques, nous établissons une caractérisation complète des cas extrêmes de biais de Chebyshev. La seconde partie de cette thèse est consacrée à l’étude de la variance des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Cette mesure des fluctuations dans la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques et a été étudiée par de nombreux auteurs. Dans le cas naturel où l'on évalue l'écart entre le comptage des premiers dans une progression arithmétique et l'asymptotique de la Vallée Poussin, Hooley a conjecturé une borne supérieure pour cette variance. Son domaine de validité a fait l'objet de discussions. A ce sujet, Fiorilli et Martin ont montré que cette conjecture ne tient pas si l'on ne se restreint pas à un domaine convenable, indiquant que la variance prend des valeurs plus grandes que prévu. Dans cette thèse, nous examinons si un lissage naturel de la variance permettrait de rétablir la validité de la conjecture de Hooley sur un domaine plus large. Nos résultats montrent que, même dans ce "cadre lisse'', cela reste impossible, confirmant ainsi la présence d’irrégularités inattendues dans la distribution des nombres premiers.