Courses de polynômes irréductibles dans les corps de fonctions

Depuis bien longtemps, beaucoup de mathématiciens ont été fascinés par les nombres premiers. Ils ont étudié les propriétés de ces nombres et ont établi de nombreux théorèmes les concernant. Parmi ces résultats, on trouve le théorème fondamental de l'arithmétique qui affirme que tout entier plus grand que 1 s'écrit de façon unique comme un produit de nombres premiers. Grâce à ce théorème, ces nombres peuvent être perçus comme les briques élémentaires dans la construction des entiers strictement positifs. Les nombres premiers interviennent dans divers domaines, notamment dans l'algorithme RSA utilisé pour sécuriser les cartes bancaires. La puissance de cet algorithme réside dans la difficulté de factoriser un nombre qui est le produit de deux très grands nombres premiers. Les nombres premiers cachent encore plusieurs mystères, en particulier en ce qui concerne leur répartition. En 1853, Chebyshev a observé une disparité dans la répartition des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Il a remarqué que pour la plupart des réels x geq 2, il y a plus de nombres premiers inférieurs à x de la forme 4n+3 que de mbox{la forme 4n+1}. L'objectif de cette thèse est d'étudier une généralisation de ce phénomène aux courses des nombres premiers dans le contexte de l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps fini mathbb{F}_{q}, où q est une puissance d'un nombre premier impair. Pour ce faire, nous allons commencer par expliquer le biais de Chebyshev et présenter certains travaux connexes. Nous nous intéresserons ensuite à ce phénomène dans les corps de fonctions en s'appuyant sur les travaux de Cha. Sur la base des travaux de Lamzouri relatifs aux courses des nombres premiers, nous allons présenter de nouveaux résultats et mettre en évidence la différence entre les courses à deux compétiteurs et celles à r geq 3 (entier fixé) compétiteurs dans le cas des corps de fonctions. Nous donnerons aussi des exemples de courses dans le contexte des corps de fonctions où les densités associées s'annulent, ce qui n'est pas le cas dans les corps de nombres. Dans la dernière partie de cette thèse, nous étudierons les courses des polynômes irréductibles unitaires modulo un polynôme unitaire m lorsque le nombre de compétiteurs r tend vers +infty avec le degré de m.