Some Contributions to the Diophantine and Cohomological Study of Function Fields

Quelques contributions à l'étude Diophantienne et cohomologique des corps de fonctions Cette thèse est divisée en deux parties. La première est consacrée à la conjecture de Kato–Kuzumaki. Elle comprend un survol de la dimension cohomologique et des cas connus de la conjecture, suivi de l’étude de son comportement vis-à-vis des extensions de corps. Des résultats de transition sont établis pour les corps de fonctions et les corps valués modérés. Dans le cas des corps de fonctions, ces résultats reposent sur des considérations explicites d’hypersurfaces et sur un raffinement des idées originales de Lang et Nagata, tandis que, dans le cas des corps valués modérés, ils découlent des principes d’Ax–Kochen/Ershov issus de la théorie des modèles. Ces résultats de transfert permettent de démontrer la conjecture en toute généralité pour plusieurs corps d’intérêt arithmétique, tels que mathbf{C}(x_1,dots, x_n)(! (t_1)! )dots (! (t_m)! ) et la clôture parfaite de mathbf{F}_p(! (t_1)! )dots (! (t_m)! ), ainsi que partiellement dans certains cas, notamment mathbf{F}_p(x_1,dots, x_n). Nous considérons également la conjecture pour les corps de fonctions en une variable sur des corps locaux supérieurs, par exemple mathbf{Q}_p(! (t_1)! )dots (! (t_n)! )(x). Un cas particulier est établi en généralisant les arguments de Izquierdo et Lucchini Arteche pour les corps de fonctions p-adiques, fondés sur des théorèmes de dualité arithmétique pour la cohomologie motivique et sur l’annulation de certains groupes de Tate-Shafarevich. Cette généralisation nécessite un calcul explicite de certains groupes de Tate–Shafarevich sur des corps de fonctions de corps locaux supérieurs. parLa seconde partie est consacrée à l’étude des propriétés de type local-global sur les corps globaux géométriques. Soit K une extension finie de mathbf{C}(! (t)! )(x) ou de mathbf{C}(! (x,y)! ). Nous montrons que les espaces homogènes de operatorname{SL}_n dont le stabilisateur géométrique est un produit semi-direct itéré de K-groupes finis abéliens satisfont une propriété d’approximation en dehors d’un ensemble fini explicite de places. Pour cela, une version faible du théorème de densité de Chebotarev est établie dans le cadre des corps semi-globaux géométriques, introduits dans ce travail.