Cohomologie bigraduée arithmétique d'espaces réels clos

Le point de départ de cette thèse est la cohomologie bigraduée (analytique) des variétés algébriques réelles développée par Johannes Huisman et Dewi Gleuher. En prenant pour prétexte l’étude des groupes abéliens uniquement divisibles, nous présentons d’abord un substitut arithmétique à l’exponentielle analytique complexe basé sur le comportement agréable de cette dernière vis-à-vis des racines n-ièmes ou, en notation additive, de sa relation avec les propriétés de divisibilité. L’ambition première étant de s’affranchir de toute contrainte d’ordre topologique sur les objets considérés dans la construction de la cohomologie analytique, nous produisons dans un second temps une variante arithmétique de cette cohomologie bigraduée en étendant la définition et les propriétés de l’exponentielle arithmétique au cadre des catégories abéliennes (de Grothendieck) et en introduisant une version modifiée de la notion de complétion profinie d’un groupe. Nous nous occupons ensuite de répondre à la question, dans le cas analytique comme arithmétique, de l’adaptation de cette théorie cohomologique à des variétés algébriques sur un corps réel clos quelconque en s’appuyant sur des méthodes semialgébriques : à savoir, la théorie des espaces (localement) semi-algébriques de H. Delfs et M. Knebusch. Ceci nous amène finalement à démontrer un théorème de comparaison entre les cohomologies analytique et arithmétique pour les complexes cellulaires à squelettes finis.