A simplicial approach to the sheaf theoretic construction of intersection cohomology

Une approche simpliciale de la construction de la théorie des faisceaux de la cohomologie d'intersection La cohomologie d'intersection est un moyen de généraliser des propriétés de la cohomologie classique des variétés au cadre plus vaste des pseudovariétés stratifiées, en particulier elle permet d'étendre la dualité de Poincaré à des espaces avec singularités. Il existe une axiomatique très efficace permettant de construire et de caractériser à quasi-isomorphisme près les complexes de faisceaux qui calculent la cohomologie d'intersection. Il s'agit des axiomes de Deligne. D'un autre côté, il est commun en topologie algébrique de travailler avec des structures simpliciales, ces dernières donnant de bonnes approximations des espaces topologiques. Or dans le cadre simplicial, D. Chataur, M. Saralegui et D. Tanré ont construit une cohomologie d'intersection simpliciale. Une question naturelle est de se demander s'il existe une version simpliciale de l'axiomatique de Deligne. C'est l'enjeu de cette thèse que de mettre en place une telle axiomatique de Deligne simpliciale qui caractérise la cohomologie d'intersection dans ce cadre combinatoire. Dans un premier temps on construit et on étudie de catégories de faisceaux simpliciaux, pour deux contextes combinatoires distincts dans lesquels s'insèrent naturellement les travaux de D. Chataur, M. Saralegui et D. Tanré. On localise ces catégories de faisceaux par rapport aux quasi-isomorphismes, obtenant ainsi des catégories de modèles et des catégories dérivées. Ensuite on pose une axiomatique de Deligne qui est valable dans des cadres catégoriques très variés. Puis, on se focalise sur une topologie particulièrement bien adaptée pour étudier les faisceaux de Deligne sur des complexes simpliciaux. Ayant mis en place le cadre axiomatique adéquat, on peut démontrer les deux résultats principaux de ce travail. Le premier résultat concerne la construction d'un foncteur de réalisation géométrique Φ : Sh(|X|) → Sh∆(X) qui permet de démontrer que ”Si F satisfait les axiomes de Deligne alors Φ(F) satisfait les ∆-axiomes de Deligne. Ce résultat nous permet de comparer les deux axiomatiques celle du cadre topologique traditionnel avec celle nouvelle du cadre simplicial. Finalement on démontre que si F est un faisceau simplicial qui vérifie les ∆-axiomes de Deligne, alors son hypercohomologie calcule la cohomologie d'intersection de la réalisation géométrique : H?(K, F ) ' IH ̄p ? (|K|)