Étude et déformations des (super)algèbres de Lie-Rinehart en caractéristique positive

L'objectif de cette thèse est l'étude des algèbres de Lie-Rinehart, en particulier en caractéristique positive. On s'intéresse à leur structure, leur cohomologie, leurs déformations et à leur classification. On commence par étudier le cas des super-algèbres de Lie-Rinehart en caractéristique nulle. Dans ce cadre, on utilise la correspondance bijective avec les super-multidérivations (qu'on introduit) afin de construire une cohomologie adaptée aux déformations formelles de ces objets. On montre que cette cohomologie contrôle les déformations formelles des super-algèbres de Lie-Rinehart. En particulier, deux déformations équivalentes correspondent à des 2-cocycles cohomologues. On établit également une classification de ces objets en petites dimensions, réalisée à l'aide du logiciel de calcul formel Mathematica.En caractéristique p>3, on commence par étudier les algèbres de Lie restreintes, ainsi que leur cohomologie. On utilise cette cohomologie restreinte, connue que partiellement (jusqu'à l'ordre 2), pour contrôler les déformations restreintes d'algèbres de Lie-Rinehart restreintes. On illustre ces résultats sur un exemple construit sur l'algèbre de Heisenberg. Dans le cas particulier de la caractéristique p=2, on construit une cohomolgie complète, à tout ordre, qui n'a pas d'analogue en caractéristique différente de 2. On montre ensuite que cette nouvelle cohomologie a des interprétations classiques en termes de déformations d'algèbres de Lie restreintes et de Lie-Rinehart restreintes.On étudie ensuite les représentations restreintes d'algèbres de Lie-Rinehart restreintes. On construit une structure restreinte sur le produit semi-direct, puis une structure de Lie-Rinehart restreinte. On étudie ensuite certains exemples en dimension infinie.Enfin, on présente une nouvelle application de la cohomologie restreinte aux doubles extensions symplectiques de super-algèbres de Lie restreintes de type quasi-Frobenius. On montre en particulier que les obstructions au processus de double extension dans ce contexte sont des objets encodés par la cohomologie restreinte.