N-ary algebras. Arithmetic of intervals

Algèbres n-aires. Arithémtiques des intervalles Ce mémoire comporte deux parties distinctes. La première partie concerne une étude d'algèbres n-aires. Une algèbre n-aire est un espace vectoriel sur lequel est définie une multiplication sur n arguments. Classiquement les multiplications sont binaires, mais depuis l'utilisation en physique théorique de multiplications ternaires, comme les produits de Nambu, de nombreux travaux mathématiques se sont focalisés sur ce type d'algèbres. Deux classes d'algèbres n-aires sont essentielles: les algèbres n-aires associatives et les algèbres n-aires de Lie. Nous nous intéressons aux deux classes. Concernant les algèbres n-aires associatives, on s'intéresse surtout aux algèbres 3-aires partiellement associatives, c'est-à-dire dont la multiplication vérifie l'identité ((xyz)tu)+(x(yzt)u)+(xy(ztu))=0 Ce cas est intéressant car les travaux connus concernant ce type d'algèbres ne distinguent pas les cas n pair et n-impair. On montre dans cette thèse que le cas n=3 ne peut pas être traité comme si n était pair. On étudie en détail l'algèbre libre 3-aire partiellement associative sur un espace vectoriel de dimension finie. Cette algèbre est graduée et on calcule précisément les dimensions des 7 premières composantes. On donne dans le cas général un système de générateurs ayant la propriété qu'une base est donnée par la sous famille des éléments non nuls. Les principales conséquences sont L'algèbre libre 3-aire partiellement associative est résoluble. L'algèbre libre commutative 3-aire partiellement associative est telle que tout produit concernant 9 éléments est nul. L'opérade quadratique correspondant aux algèbres 3-aires partiellement associatives ne vérifient pas la propriété de Koszul. On s'intéresse ensuite à l'étude des produits n-aires sur les tenseurs. L'exemple le plus simple est celui d'un produit interne sur des matrices non carrées. Nous pouvons définir le produit 3aire donné par A . ^tB . C. On montre qu'il est nécessaire de généraliser un peu la définition de partielle associativité. Nous introduisons donc les produits -partiellement associatifs où  est une permutation de degré p. Concernant les algèbres de Lie n-aires, deux classes d'algèbres ont été définies: les algèbres de Fillipov (aussi appelées depuis peu les algèbres de Lie-Nambu) et les algèbres n-Lie. Cette dernière notion est très générale. Cette dernière notion, très important dans l'étude de la mécanique de Nambu-Poisson, est un cas particulier de la première. Mais pour définir une approche du type Maurer-Cartan, c'est-à-dire définir une cohomologie scalaire, nous considérons dans ce travail les algèbres de Fillipov comme des algèbres n-Lie et développons un tel calcul dans le cadre des algèbres n-Lie. On s'intéresse également à la classification des algèbres n-aires nilpotentes. Le dernier chapitre de cette partie est un peu à part et reflète un travail poursuivant mon mémoire de Master. Il concerne les algèbres de Poisson sur l'algèbre des polynômes. On commence à présenter le crochet de Poisson sous forme duale en utilisant des équations de Pfaff. On utilise cette approche pour classer les structures de Poisson non homogènes sur l’algèbre des polynômes à trois variables . Le lien avec les algèbres de Lie est clair. Du coup on étend notre étude aux algèbres de Poisson dont l'algèbre de Lie sous jacent est rigide et on applique les résultats aux algèbres enveloppantes des algèbres de Lie rigides. La partie 2 concerne l'arithmétique des intervalles. Cette étude a été faite suite à une rencontre avec une société d'ingénierie travaillant sur des problèmes de contrôle de paramètres, de problème inverse (dans quels domaines doivent évoluer les paramètres d'un robot pour que le robot ait un comportement défini). [...]