Localization and Lie-Rinehart algebras in deformation quantization

Localisation et algèbres de Lie-Rinehart en quantification par déformation Cette thèse contient deux parties qui sont liées à la quantification par déformation. Premièrement nous discutons la localisation analytique des algèbres de fonctions en quantification par déformation, i.e. les fonctions ne sont définies que sur une partie ouverte de la variété, comparée avec la localisation non commutative à la Ore des algèbres de fonctions déformées. Nous décrivons d'abord le cadre algébrique de la localisation et ensuite nous regardons deux exemples élémentaires, celui des fonctions définies sur une partie ouverte et celui des germes de fonctions autour d'un point donné. Dans le premier cas on obtient l'équivalence entre l'approche analytique et l'approche algébrique. A la fin on discute un cadre plus général qui permet de formuler une question: Est-ce que localisation et déformation commutent?Pourtant, le lien de la deuxième partie avec la quantification par déformation est le plus élémentaire, celui des opérateurs différentiels. Dans cette partie on ne discute pas les propriétés analytiques de ces opérateurs, mais on cherche à décrire la multiplication de deux opérateurs différentiels sur une variété différentielle. Nous avons choisi le cadre algébrique des algèbres de Lie-Rinehart (Rinehart 1963, Huebschmann 1990) qui généralisent les algèbres de Lie de tous les champs de vecteurs et permettent d'utiliser des méthodes purement algébriques qui ne sont pas utilisées en géométrie différentielle usuelle. Pourtant, on a réussi à donner une description très explicite de "l'algébroïde des chemins" de M.Kapranov (2007) en termes des dérivées covariantes itérées. Dans ce cas, courbure et torsion apparaissent dans une application canonique de l'algébroïde de Kapranov dans l'algèbre de LieRinehart en question. Cette construction permet de décrire l'enveloppante de l'algèbre de Lie-Rinehart (l'analogue de l'algèbre des opérateurs différentiels) comme quotient d'une algèbre plus grande, dont la multiplication est très explicite, modulo un idéal. La construction est, pour parler géométriquement, "tensorielle" et consiste en une "symétrisation" perturbée par des termes de courbure et torsion. Dans plusieurs cas particuliers, la multiplication est calculable en termes d'une factorisation des algèbres enveloppantes des algèbres de Lie (ce qui est un problème connu en théorie de Lie).