Representations associated to gradations of Lie algebras and colour Lie algebras

Représentations associées à des graduations d'algèbres de Lie et d'algèbres de Lie colorées Soit k un corps de caractéristique différente de 2 et de 3. Les algèbres de Lie colorées généralisent à la fois les algèbres de Lie et les superalgèbres de Lie. Dans cette thèse on étudie des représentations V d'algèbres de Lie colorées g provenant de structures d'algèbres de Lie colorées sur l'espace vectoriel g⨁V. En premier lieu, on s'intéresse à la structure générale des algèbres de Lie simples de dimension 3 sur k. Puis, on classifie à isomorphisme près les superalgèbres de Lie de dimension finie dont la partie paire est une algèbre de Lie simple de dimension 3. Ensuite, pour un groupe abélien ᴦ et un facteur de commutation ɛ de ᴦ, on développe l'algèbre multilinéaire associée aux espaces vectoriels ᴦ-gradués. Dans ce contexte, les algèbres de Lie colorées jouent le rôle des algèbres de Lie. Ce langage nous permet d'énoncer et prouver un théorème de reconstruction d'une algèbre de Lie colorée ɛ-quadratique g⨁V à partir d'une représentation ɛ-orthogonale V d'une algèbre de Lie colorée ɛ-quadratique g. Ce théorème fait intervenir un invariant qui prend ses valeurs dans la ɛ-algèbre extérieure de V et généralise des résultats de Kostant et Chen-Kang. Puis, on introduit la notion de représentation ɛ-orthogonale spéciale V d'une algèbre de Lie colorée ɛ-quadratique g et on montre qu'elle permet de définir une structure d'algèbre de Lie colorée ɛ-quadratique sur l'espace vectoriel g⨁sl(2,k)⨁V⨂k². Enfin on donne des exemples de représentations ɛ-orthogonales spéciales, notamment des représentations orthogonales spéciales d'algèbres de Lie dont : une famille à un paramètre de représentations de sl(2,k)xsl(2,k) ; la représentation fondamentale de dimension 7 d'une algèbre de Lie de type G₂ ; la représentation spinorielle de dimension 8 d'une algèbre de Lie de type so(7).