Cohomologies p-adiques et espaces de Rapoport-Zink

Ce travail porte sur la géométrie et la cohomologie des revêtements de l’espace symétrique de Drinfeld. On sait que la partie supercuspidale de la cohomologie étale l-adique de ces espaces fournit des réalisations géométriques des correspondances de Langlands et de Jacquet-Langlands locales (Drinfeld, Carayol, Harris-Taylor, Boyer, Dat, …). En s'inspirant des méthodes de la thèse de Wang, nous prouvons les mêmes correspondances en cohomologie de De Rham (en oubliant l’action du groupe de Weil) pour le premier revêtement. Cela nécessite la généralisation d'un théorème de Grosse-Klönne sur la cohomologie de De Rham des espaces analytiques admettant un modèle semi-stable. Nous aurons aussi besoin d’une description plus fine du niveau 0. En particulier, nous calculons les sections inversibles de l’espace symétrique. Nous allons plus loin et calculons aussi toute la cohomologie analytique du groupe multiplicatif (nous le faisons en fait dans le cadre plus général des arrangements d’hyperplan) montrant ainsi l’annulation de son groupe de Picard. On en déduit alors une équation pour le premier revêtement essentielle pour le calcul de la cohomologie de De Rham.