Extensions d'algèbres de Cherednik et foncteurs KZ généralisés

L'objet de cette thèse est l'étude des représentations de deux algèbres. Il s'agit de deux extensions d'algèbres de Hecke. La première est l'algèbre de Hecke H(W0;W) [GM21] du normalisateur d'un sous groupe de réflexion W0 d'un groupe fini de réflexions complexe W, qui est une extension de l'algèbre de Hecke de W0. La seconde est l'algèbre C(L;W) [Mar18b] qui est un quotient du produit semi-directe de l'algèbre de Möbius du treillis L des sous groupes de réflexions de W par le groupe W et c'est une extension de l'algèbre de Hecke de W. Nous établirons dans ce mémoire deux équivalences de catégories. L'une entre la catégorie des H(W0;W)-modules de dimensions finis et un quotient d'une catégorie O(W0;W) associée à l'algèbre de Cherednik A(W0;W) du normalisateur. Et l'autre entre la catégorie des C(L;W) modules de dimension finis et un quotient d'une catégorie O(L;W) associée à l'algèbre de Cherednik A(L;W) de l'algèbre produit semi-directe de l'algèbre de Möbius du treillis L par le groupe W. Ces équivalences s'établissent en suivant le modèle de celle obtenue dans [GGOR03] par Ginzburg, Guay, Opdamet Rouquier. Plus précisément, nous commençons par définir une algèbre de Cherednik pour l'algèbre de groupe du normalisateur. Puis nous définissons une famille d'opérateurs de Dunkl-Opdam adapté à ce contexte. Nous établissons un plongement de Dunkl, permettant de relier les modules sur l'algèbre de Cherednik du normalisateur avec les modules sur l'algèbre des opérateurs différentielle NW(W0)-équivariant. Nous définissons une catégorie O adapté à ce contexte. Enfin, nous construisons un foncteur KZ et montrons qu'il induit une équivalence de catégories.Nous réalisons par la suite le même travail dans le cas de l'extension par l'algèbre de Möbius du treillis des sous groupes de réflexions. Nous définissons une algèbre de Cherednik adaptée à ce contexte, une nouvelle famille d'opérateurs de Dunkl-Opdam. Nous prouvons un plongement de Dunkl. Nous définissons une nouvelle catégorie O et un foncteur KZ, nous prouvons qu'il induit une équivalence de catégories