Pre-Lie algebras and operads in positive characteristic

Algèbres pré-Lie et opérades en caractéristique positive Le sujet de cette thèse est la théorie des opérades. Une opérande est utilisée pour encoder des collections d’opérations. Une opérade P est associée à une catégorie d’algèbres, qui est gouvernée par une monade, dénotée par S(P,-). Nous avons des variantes de cette monade, dénotées par Λ(P,-) et Γ(P,-), ce qui nous donne de nouvelles catégories d’algèbres associée à P. Nous étudions les monades Λ(PreLie,-) et Γ(P,-), associées à une opérande particulière PreLie, dont la structure reflets la définition classique des crochets de Lie par la symétrisation des opérations. Nous montrons que la catégorie des algèbres Λ(PreLie,-) est isomorphe à la catégorie des algèbres pré-Lie p-restreintes. Nous donnons ensuite une présentation de la structure d’une algèbre sur la monade Γ(PreLie,-). Nous expliquons comment définir une généralisation appropriée de la notion d’une opérade dans la seconde partie de la thèse. Premièrement, nous expliquons la définition d’une catégorie de foncteurs cohomologiques de Mackey sur une catégorie des partitions HParn. Nous prouvons que cette catégorie de foncteurs de HParn-Mackey cohomologiques est équivalent à la catégorie de Suslin-Friedlander des foncteurs polynomiaux strictes de degré n. Nous comptons sur ce résultat pour définir une catégorie de M-modules correspondant aux foncteurs analytiques. Nous prouvons que la catégorie des M-modules forme une catégorie monoïdale équivalente à celle des foncteurs analytiques avec la composition des foncteurs comme structure monoïdale. Nous utilisons ce résultat pour prouver que la catégorie des monades analytiques est équivalente à une catégorie d’opérades généralisées dans les M-modules.