Estimations du spectre discret des opérateurs définis par des matrices infinies non bornées et le modèle quantique de Rabi

Le modèle quantique de Rabi, décrivant les interactions entre un système à deux niveaux et un mode du champ quantique, est considéré comme un modèle fondamental dans l’optique quantique, l’électrodynamique de circuits, l’étude de qubits supraconducteurs etc. L’objectif de cette thèse est une étude des valeurs propres des opérateurs auto adjoints définis par le modèle quantique de Rabi. Une partie de la thèse est consacrée à l’étude asymptotique des grandes valeurs propres pour le modèle quantique de Rabi avec un paramètre supplémentaire ϵ, appelé le biais du modèle. On décrit le comportement asymptotique de la n-ième valeur propre avec l’erreur O(n−1/2 ln n) lorsque n tend vers l’infini. Il s’avère que certaines valeurs de ϵ présentent une difficulté supplémentaire due au fait que l’on doit considérer une perturbation de valeurs propres doubles et dans ce cas la formule asymptotique comporte un terme oscillant d’ordre n−1/4. Ces résultats sont nouveaux dans le cas ϵ ̸= 0. On obtient aussi des résultats analogues pour le modèle de Rabi à deux photons. L’estimation d’erreur O(n−1 ln n) pour ce modèle est nouveau même dans le cas ϵ = 0 et la formule asymptotique à trois termes peut être considérée comme une généralisation de l’approximation de l’onde tournant pour le modèle de Rabi à deux photons. Une autre partie de la thèse est consacrée à la théorie des perturbations pour une classe des opérateurs définis dans l’espace de Hilbert des suites de carré sommable par des matrices tridiagonales non bornées. Afin d’étudier la qualité de l’approximation du modèle de Rabi par le modèle de Jaynes-Cummings (l’approximation de l’onde tournant) on s’intéresse au comportement des valeurs propres en fonction du paramètre de couplage dans le cas de la perturbation des valeurs propres doubles. Grâce à un développement de lathéorie de perturbations quasi-dégénérées de Schrieffer-Wolff, on obtient des estimations explicites du rayon de convergence de la série perturbative et des estimations d’erreur.