The free wreath product of a compact quantum group by a quantum automorphism group

Le produit en couronne libre d'un groupe quantique compact par un groupe quantique d'automorphismes Dans cette thèse on définit et étudie le produit en couronne libre d'un groupe quantique compact par un groupe quantique d'automorphismes, en généralisant la notion de produit en couronne libre par le groupe quantique symétrique introduit par Bichon.Notre recherche est divisée en deux parties. Dans la première, on définit le produit en couronne libre d'un groupe discret par un groupe quantique d'automorphismes. Ensuite, on montre comment décrire les entrelaceurs de ce nouveau objet à l'aide de partitions non-croisées et décorées; à partir de cela et grâce à un résultat de Lemeux, on déduise les représentations irréductibles et les règles de fusion. Ensuite, on prouve des propriétés des algèbres d'opérateurs associées à ce groupe quantique compact, comme la simplicité de la C*-algèbre réduite et la propriété d'Haagerup de l'algèbre de von Neumann.La deuxième partie est une généralisation de la première. D'abord, on définit la notion de produit en couronne libre d'un groupe quantique compact par un groupe quantique d'automorphismes. Après, on généralise la description des espaces des entrelaceurs donnée dans le cas discret et, en adaptant un résultat d'équivalence monoïdale de Lemeux et Tarrago, on trouve les représentations irréductibles et les règles de fusion. Ensuite, on montre des propriétés de stabilité de l'opération de produit en couronne libre. En particulier, on prouve sous quelles conditions deux produits en couronne libres sont monoïdalment équivalents ou ont le semi-anneau de fusion isomorphe. Enfin, on démontre certaines propriétés algébriques et analytiques du groupe quantique duale et des algèbres d'opérateurs associées à un produit en couronne. Comme dernier résultat, on prouve que le produit en couronne de deux groupes quantiques d'automorphismes est isomorphe à un quotient d'un particulier groupe quantique d'automorphismes.