The quantum Witten-Kontsevich series

La série de Witten-Kontsevich quantique Le théorème principal de cette thèse établit le lien suivant : les coefficients de genre 0 de la série de Witten-Kontsevich quantique définie par Buryak, Dubrovin, Guéré et Rossi sont égaux aux coefficients des polynômes définis par Goulden, Jackson et Vakil dans leur étude des nombres de Hurwitz doubles. Nous prouvons aussi d’autres résultats concernant la série de Witten-Kontsevich quantique. La série de Witten-Kontsevich classique est une série génératrice de nombres d’intersections sur les espaces de module des courbes. La conjecture de Witten, prouvée par Kontsevich, affirme que cette série est le logarithme d’une fonction tau de la hiérarchie de KdV. En 2016, Buryak et Rossi ont introduit une nouvelle façon de construire des hiérarchies intégrables quantiques, ils ont en particulier construit une hiérarchie de KdV quantique. Buryak, Dubrovin, Guéré et Rossi ont ensuite défini des fonctions tau quantiques, l’une d’entre elles est la série de Witten-Kontsevich quantique. Cette série dépend de deux paramètres : le paramètre de genre _ et le paramètre quantique ~. Elle se restreint à la série de Witten-Kontsevich lorsque l’on substitue ~ = 0. Les nombres de Hurwitz double polynomiaux comptent le nombre d’applications holomorphes non équivalentes d’une surface de Riemann de genre g à P1 avec un profil de ramification fixé au dessus de 0, une ramification complète au dessus de 1, et un nombre donné de ramifications simples au dessus de P1n f0;1g. Goulden, Jackson et Vakil ont prouvé que ces nombres sont polynomiaux en les ordres de ramification au dessus de 0. Nous montrons que les coefficients de ces polynômes sont égaux aux coefficients de la série de Witten-Kontsevich quantique avec _ = 0. Dans le Chapitre 1, nous présentons le cadre des hiérarchies intégrables classiques et quantiques que nous utiliserons. Nous présentons aussi la construction des fonctions tau classiques et quantiques. Dans le Chapitre 2, nous présentons les espaces de module des courbes Mg;n et leurs anneaux tautologiques. Nous présentons brièvement la conjecture de Witten. Ensuite, nous introduisons le cycle de double ramification et discutons de quelques méthodes pour le calculer. Ce cycle est nécessaire pour définir les hamiltoniens des hiérarchies intégrables quantiques. Dans le Chapitre 3, nous présentons la hiérarchie de KdV quantique et quelques-unes de ses propriétés. Nous définissons ensuite la série de Witten-Kontsevich quantique comme une certaine fonction tau quantique de cette hiérarchie. Dans le Chapitre 4, nous introduisons les nombres de Hurwitz. Nous présentons d’abord un lien remarquable entre la hiérarchie de KdV quantique et l’équation de cut-and-join. Ensuite, nous introduisons les nombres de Hurwitz doubles polynomiaux. Leur relation avec la série de Witten-Kontsevich quantique est le résultat principal de cette thèse. Dans le Chapitre 5, nous présentons les nombres Eulériens. Ces nombres apparaissent dans le calcul des coefficients de la série de Witten-Kontsevich quantique. Leurs propriétés sont cruciales pour nos preuves. Dans le Chapitre 6, nous formulons et prouvons notre théorème principal ainsi que d’autres résultats sur la série de Witten-Kontsevich quantique.