Métriques de Calabi-Yau et valuations K-stables sur les variétés sphériques affines

La présente thèse constitue une première étape vers une classification en termes de valuations des métriques de Calabi-Yau complètes à croissance de volume maximale sur les espaces symétriques complexes, ou plus généralement les variétés sphériques affines.Dans la première partie, nous introduisons les cônes sphériques, dont les métriques coniques de Calabi-Yau éventuelles sont des modèles asymptotiques de variétés sphériques affines de Calabi-Yau. Nous démontrons que les cônes horosphériques, contenant strictement les cônes toriques et cônes sur les grassmanniens, sont toujours de Calabi-Yau via l'étude d'une équation de Monge-Ampère réelle. Plus généralement, nous établissons l'équivalence entre la K-stabilité des cônes sphériques, exprimée par une condition combinatoire explicite, et l'existence de métriques coniques de Calabi-Yau.Dans la deuxième partie, nous procédons à étudier les valuations induites par ces métriques de Calabi-Yau sur les variétés sphériques affines lisses, dites valuations K-stables. Comme application, nous donnons une liste explicite des valuations K-stables sur les espaces symétriques de rang deux, chacune desquelles induit une dégénérescence de l'espace vers le candidat du cône asymptotique. Pour une valuation à l'intérieur du cône des valuations, qui dégénère l'espace vers un cône horosphérique, nous montrons qu'il est toujours possible de construire une métrique de Calabi-Yau asymptotique à la métrique conique de Calabi-Yau sur ce cône.