On pre-Calabi-Yau categories

Sur les catégories de pre-Calabi-Yau Dans cette thèse, nous étudions les catégories de pré-Calabi-Yau et leurs morphismes.Nous développons pour cela un outil nous permettant de présenter les définitions et les preuves de manière plus simple, que nous appelons le calcul diagrammatique. Nous démontrons que le crochet perlé est un crochet de Lie d’une manière différente de celle utilisée dans la littérature existante, en le reliant au crochet de Gerstenhaber. En utilisant cette relation, nous explorons la relation entre les morphismes de pré-Calabi-Yau et les morphismes, étendant les résultats reliant les morphismes d’algèbres différentielles graduées de Poisson doubles et les morphismes. Ensuite, nous étudions la théorie de l’homotopie des morphismes de pré-Calabi-Yau, en les regardant en tant qu’éléments de Maurer-Cartan d’une certaine algèbre, et nous présentons les notions d’homotopie et d’homotopie faible. Nous complétons ensuite la relation entre les morphismes de pré-Calabi-Yau et les morphismes, prouvant que des morphismes de pré-Calabi-Yau homotopes donnent lieu à des A∞-morphismes faiblement homotopes. Par la suite, nous donnons de nouvelles preuves de diverses versions du Théorème de Transfert Homotopique pour les catégories de pré-Calabi-Yau, sans utiliser le calcul propéradique. Nous obtenons en conséquence l’existence des modèles minimaux des catégories de pré-Calabi-Yau et la quasi-inversibilité des quasi-isomorphismes. Finalement, nous étudions la théorie de l’obstruction des catégories de pré-Calabi-Yau et donnons ensuite une structure de modèle sans (co)limites pour la catégorie des algèbres de pré-Calabi-Yau.