Positivity of the (co)tangent sheaf and of Chern classes

Positivité du faisceau (co)tangent et des classes de Chern Cette thèse participe à la description de certaines variétés complexes projectives à diviseur anticanonique numériquement effectif (nef). Dans la première partie, nous montrons que les faisceaux tangent et cotangent réflexivisé d'une variété normale projective de Calabi-Yau ou irréductible holomorphe symplectique à singularités canoniques ne sont pas pseudoeffectifs, ce qui généralise des résultats de Höring et Peternell en retranchant une hypothèse de lissité en codimension 2. La positivité de la seconde classe de Chern orbifold joue un rôle important dans la preuve, notamment dans un théorème technique faisant le lien entre la pseudoeffectivité d'un faisceau réflexif suffisamment stable de déterminant trivial et l'annulation de sa seconde classe de Chern orbifold. Nous présentons également des exemples de variétés de Calabi-Yau de petite dimension ayant des singularités en codimension 2. Dans la deuxième partie, nous exposons plusieurs résultats liés à la classification des quotients de variétés abéliennes par des groupes finis agissant librement en codimension 2 qui admettent une variété de Calabi-Yau comme résolution. Il est équivalent de classifier les variétés de Calabi-Yau admettant une annulation partielle de la seconde classe de Chern. Tandis qu'Oguiso construit deux exemples en dimension 3, nous prouvons qu'il n'y en a pas en dimension 4. Nous montrons également qu'à dimension fixée et à isogénie près, il y a seulement deux variétés abéliennes susceptibles d'admettre de tels quotients, à savoir left({E_{frac{-1+isqrt{3}}{2}}}ight)^n et left({E_{frac{-1+isqrt{7}}{2}}}ight)^n. Quant au groupe fini agissant, nous montrons qu'il est engendré par ses éléments admettant des points fixes, et nous classifions ses sous-groupes de la forme pstab(a), fixant un point commun a de la variété abélienne étudiée : ces sous-groupes sont des 3-groupes ou des 7-groupes abéliens élémentaires. Finalement, nos résultats impliquent qu'aucun quotient de variété abélienne par un groupe agissant librement en codimension 3 n'admet de résolution crépante simplement connexe. Le but de la troisième partie est d'établir la conjecture du cône pour les paires de Schoen (une terminologie que nous introduirons), généralisant l'article de Grassi et Morrison sur les variétés de Calabi-Yau de dimension 3 introduites par Schoen. Pour prouver cette conjecture dans ce cas particulier, nous décrivons complètement le cone nef des variétés de Schoen, en utilisant leur description en tant que produits fibrés au-dessus de P^1. Ce travail est une collaboration avec Hsueh-Yung Lin et Long Wang.Dans la quatrième partie, nous prouvons qu'une variété X projective lisse de dimension n dont la troisième ou quatrième puissance extérieure du fibré tangent est strictement nef est une variété de Fano. Nous classifions également une telle variété X sous l'hypothèse additionnelle ho(X)e 1. Enfin, nous prouvons que si la (n-1)-ième puissance extérieure du fibré tangent est nef et X est rationnellement connexe, alors X est une variété de Fano.