Cohomology groups of holomorphic bundles and Chern classes

Cohomologie des fibrés holomorphes et classes de Chern Cette thèse comporte deux parties. Dans la première partie, nous étudions la cohomologie des variétés kähleriennes compactes à valeurs dans un fibré en droites pseudo-effectif, et également différents résultats concernant les fibrés vectoriels pseudo-effectifs. Comme certaines de nos définitions ne nécessitent pas l’existence de métriques kähleriennes, les résultats correspondents s’appliquent aussi aux variétés complexes compactes arbitraires. Dans la seconde partie, nous nous attachons à trouver une définition appropriée des classes de Chern (ou, de façon équivalente, des classes de Chern caractéristiques) pour la cohomologie de Bott-Chern à coefficients rationnels. Nous développons parallèlement une théorie de l’intersection dans le contexte de la cohomologie de Bott-Chern entière. L’organisation de la thèse est la suivante. Dans le Chapitre 2, nous améliorons le théorème de Lefschetz difficile à valeurs dans un fibré en droites démontré par Demailly, Peternell et Schneider, et discutons l’optimalité de l’énoncé qui en découle. Nous montrons en particulier que les sections holomorphes construites dans ce résultat sont en fait parallèles par rapport à la métrique singulière donnée. Une conséquence de cette propriété est l’existence de feuilletages holomorphes naturellement reliés.Dans le Chapitre 3, nous étudions la dimension numérique d’un fibré en droites pseudo-effectif sur une variété kählerienne compacte, et, dans le cadre des estimations L^2, nous obtenons des théorèmes d’annulation analogues à ceux de Fedor Bogomolov et de Junyan Cao, exprimés en termes de la dimension numérique.Dans le Chapitre 4, nous introduisons la définition du concept de fibré en droites “nef en dimension supérieure”, qui interpole entre la propriété nef usuelle et la pseudo-effectivité. Dans ce contexte, nous donnons une preuve simpliée d’un résultat de Nakayama sur la non-existence de décompositions de Zariski en dimension au moins 3. Nous énonçons aussi une variante du théorème d’annulation de Bogomolov et étudions la surjectivité du morphisme d’Albanese d’une variété kählerienne compacte dont le diviseur anticanonique est pseudo-effectif.Le Chapitre 5 propose une discussion de la notion de fibré vectoriel ou de faisceau sans torsion pseudo-effectif (au sens fort). Nous montrons qu’un faisceau réflexif pseudo-effectif au sens fort sur une variété kählerienne compacte ayant une première classe de Chern triviale est en fait numériquement plat.Dans le Chapitre 6, en nous inspirant d’idées de Julien Grivaux, nous construisons une théorie de l’intersection pour la cohomologie de Bott-Chern entière, qui avait été introduite en 2007 par Michel Schweitzer. Une combinaison de ces travaux nous permet de définir les classes de Chern et d’obtenir une formule de Riemann-Roch-Grothendieck en cohomologie de Bott-Chern rationnelle.