Les fonctions rationnelles bornées en géométrique algébrique réelle

Ce manuscrit commence l’étude des fonctions rationnelles bornées, qui sont une extension naturelle des fonctions régulues et sont liées à la normalisation. Elles sont aussi liées aux anneaux de fonctions bornées (ou anneau d’holomorphie) et elles fournissent les exemples les plus simples de fonctions non continues à plusieurs variables. On montre qu’il s’agit d’un anneau non noetherien, intégralement clos, dont la dimension de Krull est la dimension géométrique. Les fonctions sont régulières après éclatements, le caractère borné est un invariant birationnel propre. On crée une géométrie qui nous permet d’obtenir un Nullstellensatz faible, mais qui n’a rien de spécifique aux fonctions bornées, et les fermés y coïncident avec les contractions de fermés de Zariski. On montre de plus qu’elle peut construire tout semi-algébrique quitte à monter la dimension ambiante. L’étude des bonnes conditions pour une inégalité de Łojasiewicz nous amène à créer une géométrie dans les espaces d’arcs semi-algébriques. On peut alors donner un Nullstellensatz pour les idéaux de type fini qui sont alors radicalement principaux. L’étude des contre-exemples pour le cas non de type fini nous amène à étudier les idéaux maximaux, et le défaut d’unicité de la propriété de substitution, ce qui crée un lien surprenant entre le spectre d’anneau de notre anneau et le spectre réel de l’anneau de polynôme associé.