Diagonals of rational functions in physics

Diagonales de fractions rationnelles en physique Nous étudions les séries à coefficients entiers solutions d’équations différentielles linéaires. Nous nous concentrons sur les diagonales de fractions rationnelles liées à la physique théorique et à la combinatoire énumérative, correspondant à des fonctions hypergéométriques ou à des fonctions de Heun. Ces fonctions hypergéométriques ou de Heun, obtenues par la méthode dite de création télescopique, se sont avérées être dans tous les cas correspondre à des formes modulaires ou des carrés de formes modulaires, voire des dérivées de formes modulaires. Une approche de géométrie algébrique effective nous a permis une compréhension profonde, et intrinsèque, de l'émergence de telles fonctions remarquables. Les méthodes de création télescopique nous ont enfin permis d'avancer dans la compréhension de la validité de la conjecture avancée par Gilles Christol dans les années 1980. En particulier, nous avons pu montrer que certains contre-exemples potentiels à cette conjecture correspondaient bien, en fait, à des diagonales de fractions rationnelles.