Combinatorial links between quasisymmetric functions and tableaux for Coxeter groups.

Liens combinatoires entre fonctions quasisymétriques et tableaux dans les groupes de Coxeter. L'algèbre des fonctions symétriques est un outil majeur de la combinatoire algébrique qui joue un rôle central dans la théorie des représentations du groupe symétrique. Cette thèse traite des fonctions quasisymétriques, une puissante généralisation introduite par Gessel en 1984, avec des applications significatives dans l'énumération d'objets combinatoires majeurs tels que les permutations, les tableaux de Young et les P-partitions. Plus précisément, nous trouvons un nouveau lien entre l'extension des fonctions quasisymétriques de Chow à des groupes de Coxeter de type B et des tableaux de dominos. Ceci nous permet d'apporter de nouveaux résultats dans divers domaines, notamment les constantes de structure de l'algèbre de descente de Solomon de type B, l'extension de la théorie de la Schur-positivité aux permutations signées et l'étude d'une formule de Cauchy de type Bq-déformée avec des implications importantes statistiques pour les tableaux dominos.Parmi les bases remarquables de l'algèbre des fonctions symétriques, les fonctions de Schur ont fait l'objet d'une attention particulière car elles sont étroitement liées aux caractères irréductibles du groupe linéaire général et aux diagrammes de Young. La fonction symétrique de Schur est la fonction génératrice des tableaux de Young semistandards. Ce résultat s'étend aux formes gauches et permet d'écrire n'importe quelle fonction de Schur (gauche) comme la somme des fonctions quasisymétriques fondamentales de Gessel, indexées par l'ensemble de descente de tous les tableaux de Young standard d'une forme donnée. En outre, la célèbre formule de Cauchy pour les fonctions de Schur donne une preuve algébrique de la correspondance de Robinson-Schensted-Knuth. Enfin, les constantes de structure pour la multiplication et la comultiplication des polynômes de Schur sont respectivement les coefficients de Littlewood-Richardson et de Kronecker, deux familles importantes de coefficients ayant diverses applications combinatoires et algébriques. En utilisant des résultats connus sur les fonctions quasisymétriques fondamentales de Gessel, nous montrons que ces propriétés impliquent directement et de façon purement algébrique divers résultats pour les constantes de structure de l'algèbre de descente de Salomon d'un groupe de Coxeter fini de type A et la propriété de préservation de descente de la correspondance de Robinson-Schensted, un outil essentiel pour identifier les ensembles Schur-positifs, c'est-à-dire les ensembles de permutations dont la fonction quasisymétrique associée est symétrique et qui peut s'écrire sous la forme d'une somme non négative de fonctions symétriques de Schur.Pour étendre ces résultats aux groupes de Coxeter de type B, nous avons introduit une famille de fonctions génératrices modifiées pour les tableaux de dominos et la relions aux fonctions quasisymétriques fondamentales de type B de Chow. Grâce à cette relation, nous obtenons de nouvelles formules reliant les constantes de structure de l'algèbre de descente de Salomon de type B aux coefficients de Kronecker et de Littlewood-Richardson de type B.Cela nous permet en outre d'introduire une nouvelle extension de type B de la Schur-positivité basée sur une définition de la descente pour les permutations signées, conforme à la définition abstraite de Solomon pour tous les groupes de Coxeter. Nous concevons des bijections préservant la descente entre des permutations d'arc signées et des ensembles de tableaux de dominos afin de montrer qu'ils sont bien type B Schur-positifs.Enfin, nous introduisons une q-déformation des fonctions génératrices modifiées pour les tableaux de dominos afin d'étendre une identité de Cauchy de type B proposée par Lam et de la lier aux fonctions quasisymétriques de Chow. Nous appliquons ce résultat à un nouveau cadre de positivité de type Bq-Schur et à la démonstration de nouveaux résultats d'équidistribution pour certains ensembles de tableaux de dominos.