Fully commutative elements and lattice walks

An element of a Coxeter group $W$ is fully commutative if any two of its reduced decompositions are related by a series of transpositions of adjacent commuting generators. These elements were extensively studied by Stembridge in the finite case. In this work we deal with any finite or affine Coxeter group $W$, and we enumerate fully commutative elements according to their Coxeter length. Our approach consists in encoding these elements by various classes of lattice walks, and we then use recursive decompositions of these walks in order to obtain the desired generating functions. In type $A$, this reproves a theorem of Barcucci et al.; in type $\tilde{A}$, it simplifies and refines results of Hanusa and Jones. For all other finite and affine groups, our results are new. Un élément d’un groupe de Coxeter $W$ est dit totalement commutatif si deux de ses décompositions réduites peuvent toujours être reliées par une suite de transpositions de générateurs adjacents qui commutent. Ces éléments ont été étudiés en détail par Stembridge dans le cas où $W$ est fini. Dans ce travail, nous considérons $W$ fini ou affine, et énumérons les éléments totalement commutatifs selon leur longueur de Coxeter. Notre approche consiste à encoder ces éléments par diverses classes de chemins du plan que nous décomposons récursivement pour obtenir les fonctions génératrices voulues. Pour le type $A$ cela redonne un théorème de Barcucci et al.; pour $\tilde{A}$, cela simplifie et précise des résultats de Hanusa et Jones. Pour tous les autres groupes finis et affines, nos résultats sont nouveaux.