Seminormalisation et fonctions régulues

Dans le cadre de la géométrie algébrique réelle, Fichou, Monnier et Quarez ont mis en lumière une corrélation entre la seminormalisation, les fonctions rationnelles continues et les fonctions régulues (une classe de fonctions récemment introduite en géométrie réelle). Dans la première partie de cette thèse, nous montrons que cette corrélation existe également en géométrie algébrique complexe et nous approfondissons le concept de fonctions régulues complexes. Nous donnons plusieurs caractérisations de ces fonctions et en fournissons de nombreux exemples. La seconde partie de la thèse est consacrée à l’étude de la «R-seminormalisation», une variante de la seminormalisation adaptée au cadre de la géométrie algébrique réelle. Nous montrons que cet objet possède une propriété universelle du même type que celle de la seminormalisation classique. Puis, nous identifions de différentes manières les éléments de son anneau de coordonnées et donnons des exemples de constructions de la R-seminormalisation. Enfin, nous montrons comment cet objet modifie les singularités d’une variété en établissant un lien entre la R-seminormalisation, la seminormalisation et la «normalisation birégulière» introduite récemment en géométrie réelle.