Homéomorphismes quasiconformes extrémaux et différentielles quadratiques en géométrie CR sphérique

Dans cette thèse, on s’intéresse à l’idée d’homéomorphismes de Teichmüller dans le cadre de la géométrie CR sphérique de dimension 3. On en considère alors deux approches. La première est celle d’homéomorphismes quasiconformes avec des propriétés extrémales. Dans cette direction, on construit explicitement et on prouve l’unicité (à composition avec une rotation autour de l’axe vertical près) d’un minimiseur d’une distortion moyenne entre cylindres du groupe de Heisenberg. On étend par la suite ces résultats aux relevés, par une projection naturelle dans le demi-plan supérieur, de quadrilatères. On montre également un résultat général de relèvement d’homéomorphismes quasiconformes du demi-plan supérieur sur le groupe de Heisenberg. La seconde approche est celle d’homéomorphismes quasiconformes qui dilatent les trajectoires horizontales d’une différentielle quadratique CR. On parvient à la notion de différentielles quadratiques CR en étudiant une décomposition du complexe de Rumin sur les variétés CR sphériques. On termine par des exemples d’homéomorphismes quasiconformes qui dilatent les trajectoires (horizontales et/ou verticales) de différentielles quadratiques CR. En particulier, on verra que, sous certaines conditions, il existe au plus une famille à deux paramètres d’homéomorphismes quasiconformes qui dilatent les trajectoires horizontales de différentielles quadratiques CR.