Approches ADER-DG pour l’advection-diffusion non linéaire : application aux équations de Navier-Stokes incompressibles

De nombreuses applications, comme par exemple les écoulements de fluides multiphasiques incompressibles ou la conduction thermique dans des matériaux non homogènes, sont caractérisées par des paramètres physiques variant fortement à travers des interfaces internes. Dans les approches classiques, ces frontières intérieures sont traitées en utilisant des maillages ajustés. Ces méthodes sont précises et peuvent conduire à des schémas permettant une discrétisation simple des conditions d’interfaces. Cependant, la génération et la manipulation d’un tel maillage adapté peuvent être coûteuses et fastidieuses, en particulier lorsque la géométrie de l’interface évolue dans le temps. De plus, le calcul de la solution sur une architecture parallèle nécessite généralement un partitionnement des inconnues sur le maillage en fonction du temps, ce qui induit des coûts de calcul supplémentaires. Une alternative consiste à développer de nouveaux schémas s’appuyant sur une discrétisation de la solution sur des maillages hiérarchiques non conformes, de type quadtrees ou octrees. La nature hiérarchique de la grille rend sa génération et son adaptation très efficaces, offrant par ailleurs une parallélisation facilitée ainsi qu’une empreinte mémoire maîtrisée. De plus, la précision locale est obtenue grâce à l’adaptabilité de la grille dans les régions d’intérêt. Pendant les travaux de doctorat d’Alice Raeli, Claire Taymans et Antoine Fondanèche, des schémas aux différences finies et volumes finis sur quadtrees et octrees ont été développés pour des problèmes de conduction de chaleur, d’écoulements fluides et d’interaction fluide-structure. Ces approches se sont avérées fiables et effcaces, mais le gain en ordre de précision et l’efficacité en parallèle étaient limités par la nécessité de reconstruire la solution par polynômes sur un stencil plus large. Plus récemment, la thèse de doctorat de Michele Giuliano Carlino a étendu une approche ADER sur des grilles conformes à des maillages chimères. Cette approche de type prédiction-correction permet une discrétisation d’ordre supérieur grâce à une structure polynômiale de la solution en phase de prédiction, tandis que la correction assure la stabilité et recombine l’information entre mailles via des flux à leurs interfaces. Toutefois, la résolution sur maillage chimère a induit une perte de précision aux interfaces dans les zones de recouvrement entre les deux maillages. Dans ce contexte, le présent travail de thèse a consisté à construire un schéma de Galerkin discontinu permettant une représentation polynômiale de la solution à un degré arbitrairement élevé, combiné à une approche ADER pour l’évolution temporelle. L’étude d’approches par pénalisation et relaxation, éprouvées à différents ordres de précision et pour divers paramètres de simulation, a permis d’établir le meilleur compromis de performances du schéma ADER-DG. Les résultats numériques obtenus sur le problème d’advection-diffusion non linéaire ont pu être étendus à la simulation d’écoulements incompressibles via la résolution des équations de Navier-Stokes. À terme, ce travail de doctorat concourt à deux objectifs. D’une part, il devra permettre l’extension des schémas compacts développés aux quadtrees en garantissant aussi bien une parallélisation efficace qu’un maintien de la précision aux sauts de niveau de raffinement du maillage. D’autre part, il devra faciliter l’adaptation à des maillages chimères entre une grille quadtree de fond et un maillage fin éventuellement anisotrope adapté à des géométries internes. L’association de ces outils vise à permettre des simulations réalistes, précises et efficaces, de phénomènes de couches limites comme les écoulements autour d’ailes d’avion ou de pales d’éoliennes.