Convergence de méthodes numériques pour la mécanique des fluides : équation de Navier-Stokes stochastique et ses variantes

Convergence of numerical methods in fluid mechanics : The stochastic Navier-Stokes equation and its variants Bien que le développement et l'évolution des méthodes numériques pour les équations de Navier-Stokes existent depuis des décennies, elles restent, jusqu'à ce jour, un sujet ouvert pour de nouvelles recherches en raison de leurs propriétés imparfaites: allant de la complexité théorique, qui découle du comportement chaotique des solutions mathématiques, jusqu'à l'implémentation associée, qui nécessite une manipulation soigneuse d'algorithmes numériques ainsi que des techniques de codage efficaces permettant une compilation de code et un temps d'exécution optimaux. Les versions stochastiques des équations de Navier-Stokes ont un comportement plus complexe vis-à-vis du terme source aléatoire appliqué qui contraint les démonstrations techniques, car ses effets se propagent dans les équations et affectent éventuellement leurs solutions, entraînant souvent une perte de régularité, sans parler du temps considérable qui s'additionne à l'exécution des codes numériques déterministes.Cette thèse propose quelques solutions aux problèmes susmentionnés en tournant l'attention vers une variante des équations de Navier-Stokes; notamment, les équations de Navier-Stokes moyennées au sens de Lagrange (LANS-⍺ en abrégé) qui ont de meilleures propriétés et sont paramétrées par une échelle spatiale notée ⍺. Grosso modo, lorsque le paramètre ⍺ tend vers 0, on retrouve les équations de Navier-Stokes. Cette propriété est développée dans tout un chapitre pour détailler l'aspect théorique des solutions au modèle LANS-⍺ stochastique lorsque ⍺ s'annule. Ainsi, en liant ⍺ avec des paramètres de discrétisation qui finissent par atteindre 0, une solution du modèle LANS-⍺ converge vers une solution de Navier-Stokes. Par conséquent, discrétiser le problème de Navier-Stokes revient à discrétiser le modèle LANS-⍺, sous la condition que ⍺ s'annule en passant à la limite dans les petits paramètres de la méthode numérique proposée.Un autre problème considérable émergeant des équations incompressibles de Navier-Stokes, en particulier pour les schémas numériques, est la construction de sous-espaces à divergence nulle. Ces méthodes paraissent délicates à première vue puisqu'elles permettent de supprimer le champ de pression de la formulation variationnelle des équations sous-jacentes et, par conséquent, de réduire le nombre de degrés de liberté résultant en un système discret défini positif. Cependant, la gestion de leur mise en œuvre pourrait être fastidieuse et pourrait présenter des conséquences indésirables, telles que des conditionnements médiocres. Cet inconvénient peut être surmonté par une variation (appelée méthode de pénalisation ou compressibilité artificielle) de l'équation de conservation de la masse, qui implique la contrainte à divergence nulle. Cela a l'avantage de maintenir des méthodes numériques standards qui sont largement étudiées, telles que l'approximation par éléments finis, permettant d'appliquer la littérature déjà existante sans aucune restriction. La méthode de pénalisation est comparable au modèle LANS-⍺ puisqu'elle contient un paramètre noté ε dans ce contexte, qui pourrait être considéré en fonction des paramètres de discrétisation afin de l'éliminer des équations d'intérêt lors du passage à la limite.Concernant les méthodes numériques appliquées dans le cadre de cette thèse, la méthode des éléments finis joue un rôle essentiel dans la discrétisation spatiale du modèle stochastique LANS-⍺ et des équations de Navier-Stokes à compressibilité artificielle. La discrétisation temporelle est assurée par la méthode d'Euler, qui peut varier d'un algorithme à l'autre en fonction des hypothèses imposées. Les schémas numériques proposés ici améliorent la vitesse de convergence des algorithmes déjà existants pour le problème de Navier-Stokes stochastique.