Multi-scale Finite Element Method for incompressible flows in heterogeneous media : Implementation and Convergence analysis.

Méthode des éléments finis multi-échelles pour les écoulements incompressibles dans des milieux hétérogènes : Implémentation et Analyse de convergence. Cette thèse porte sur l'application d'une méthode d'éléments finis multi-échelles (MsFEM) pour résoudre les écoulements incompressibles dans des milieux multi-échelles. En effet, la simulation de l'écoulement dans un milieu multi-échelle comportant de nombreux obstacles, tel que le cœur d'un réacteur nucléaire, est un défi de taille. Afin de capturer avec précision les échelles les plus fines de l'écoulement, il est nécessaire d'utiliser un maillage très fin. Cependant, cela conduit souvent à des simulations difficiles à réaliser en raison du manque de ressources informatiques. Pour remédier à cette limitation, cette thèse développe une MsFEM non-conforme enrichie pour résoudre les écoulements visqueux incompressibles dans des milieux hétérogènes, basée sur la méthode classique des éléments finis non conformes de Crouzeix--Raviart avec des fonctions de poids d'ordre élevé. La MsFEM utilise un maillage grossier sur lequel de nouvelles fonctions de base sont définies. Ces fonctions ne sont pas les fonctions de base polynomiales classiques des éléments finis, mais résolvent les équations de la mécanique des fluides sur les éléments du maillage grossier. Ces fonctions sont elles-mêmes approximées numériquement sur un maillage fin, en tenant compte de tous les détails géométriques, ce qui confère à cette méthode son aspect multi-échelle. Une étude théorique de la MsFEM proposée est menée aux niveaux continu et discret. Tout d'abord, le caractère bien posé des problèmes locaux discrets impliqués dans la MsFEM a été démontré à l'aide de nouvelles familles d'éléments finis. Pour ce faire, une nouvelle famille d'éléments finis non conformes en trois dimensions sur les tétraèdres a été développée. En outre, la première estimation d'erreur pour l'approximation du problème de Stokes dans des milieux perforés périodiques à l'aide de cette MSFEM est établie, démontrant sa convergence. Cette estimation est basée sur la théorie de l'homogénéisation du problème de Stokes dans les domaines périodiques et sur la théorie usuelle des éléments finis. Au niveau numérique, la MsFEM pour résoudre les problèmes de Stokes et d'Oseen en deux et trois dimensions a été implémenté dans un cadre massivement parallèle dans FreeFEM. En outre, une méthodologie pour résoudre le problème de Navier-Stokes est fournie.