Déformations d'algèbres de Hopf combinatoires et inversion de Lagrange non commutative

Cette thèse est consacrée à l’étude de familles à un paramètre de coproduits sur lesfonctions symétriques et leurs analogues non commutatifs. On montre en introduisant une base appropriée qu’une famille à un paramètre d’algèbres de Hopf introduite par Foissy interpole entre l’algèbre de Faà di Bruno et l’algèbre de Farahat-Higman. Les constantes de structure dans cette base sont des déformations des constantes de structures de l’algèbre de Farahat-Higman dans la base des projections des classes de conjugaison. On obtient pour ces constantes de structure déformées un analogue des formules de Macdonald. Foissy a également introduit un analogue non commutatif de cette famille d’algèbres de Hopf, qui interpole entre l’algèbre de Hopf des fonctions symétriques non commutatives et l’algèbre de Faà di Bruno non commutative. Après avoir donné une nouvelle interprétation combinatoire de la formule de Brouder-Frabetti-Krattenthaler pour l’antipode de l’algèbre de Faà di Bruno non commutative, qui est une forme de la formule d’inversion de Lagrange non commutative, on donne une déformation à un paramètre de cette formule. Plus précisément, on obtient une formule explicite pour l’antipode de la déformation de Foissy dans sa version non commutative. On donne aussi d’autres propriétés combinatoires de l’algèbre de Faà di Bruno non commutative et d’autres résultats permettant d’étudier les deux familles d’algèbre de Hopf de Foissy. Ainsi, on généralise par exemple d’autres formes de la formule d’inversion de Lagrange non commutative en donnant d’autres formules qui calculent l’antipode de la deuxième déformation.