Structures Hopf-algébriques et opéradiques sur différentes familles d'arbres

Nous introduisons les notions de forêts préordonnées et préordonnées en tas, généralisant les constructions des forêts ordonnées et ordonnées en tas. On démontre que les algèbres des forêts préordonnées et préordonnées en tas sont des algèbres de Hopf pour le coproduit de coupes et on construit un morphisme d'algèbres de Hopf dans l'algèbre des mots tassés. Ensuite, nous définissons un autre coproduit sur les forêts préordonnées donné par la contraction d'arêtes et nous donnons une description combinatoire de morphismes définis sur des algèbres de Hopf de forêts et à valeurs dans les algèbres de Hopf de battages et de battages contractants. Par ailleurs, nous introduisons la notion d'algèbre bigreffe, généralisant les notions d'algèbres de greffes à gauche et à droite. Nous décrivons l'algèbre bigreffe libre engendrée par un générateur et nous munissons cette algèbre d'une structure d'algèbre de Hopf et d'un couplage. Nous étudions ensuite le dual de Koszul de l'operade bigreffe et nous donnons une description combinatoire de l'algèbre bigreffe dual engendrée par un générateur. A l'aide d'une méthode de réécriture, nous prouvons que l'opérade bigreffe est Koszul. Nous définissons la notion de bialgèbre bigreffe infinitésimale et nous prouvons un analogue des théorèmes de Poincaré-Birkhoff-Witt et de Cartier-Milnor-Moore pour les bialgèbres bigreffe infinitésimales connexes. Pour finir, à partir de deux opérateurs de greffes, nous construisons des algèbres de Hopf d'arbres enracinés et ordonnés B^{i},i∈N^{∗},B^{∞} et B vérifiant les relations d'inclusions B¹⊆...B^{i}⊆B^{i+1}⊆...⊆B^{∞}⊆B. On munit Bd'une structure de bialgèbre dupliciale dendriforme et on en déduit que B est colibre et auto-duale. Nous démontrons que B est engendrée comme algèbre bigreffe par un générateur.