Opétopes : aspects syntaxiques et algébriques

Les opétopes sont des formes (tout comme les globes, les cubes, les simplex, les dendrex, etc.) inventées par Baez et Dolan afin de pouvoir décrire les cellules de cohérence des catégories supérieures faibles. Informellement, ce sont des arbres d’arbres d’arbres d’arbres... Ces formes sont séduisantes car elles sont intrinsèquement simples et apparaissent fréquemment en pratique. Cependant, leur nature inductive les rend difficile à manipuler efficacement. Cette thèse développe la théorie des opétopes selon trois axes. Premièrement, nous formulons une définition propre et robuste, en suivant minutieusement l’approche deKock–Joyal–Batanin–Mascari, basée sur la théorie des monades et des arbres polynomiaux. En itérant la construction de Baez–Dolan sur le foncteur identité sur la catégorie des ensembles, nous obtenons une suite de monades polynomiales, et leurs opérations sont des arbres sur des monades précédentes. Ce processus génère les opétopes et cerne leur structure récursive. Ensuite, nous présentons la notion d’adresse supérieure, qui nous permettent de “naviguer” dans les opétopes et leurs faces afin d’atteindre un noeud ou une arrête donné. Ce formalisme permet une étude plus poussée de la structure des monades polynomiales et des opérations sur les arbres qu’elles encapsulent. Dans notre cas, il s’agit des opérations naturelles sur les opétopes,par exemple les greffes et les substitutions. Ensuite, nous introduisons deux systèmes syntaxiques pour décrire les opétopes etles ensembles opétopiques, avec pour objectif leur implémentation informatique. Dans chacune de ces deux approches, les opétopes sont encodés par des expressions dont la validité est assurée par des calculs des séquents correspondants. Dans la première,appelée approche nommée, nous décrivons la structure compositionnelle des opétopes en utilisant un certain type de terme. La seconde, appelée approche anonyme, se concentre sur une représentation syntaxique simple des arbres sous jacents aux opétopes. Bien que plus proche de la définition polynomiale, sa syntaxe est moins facile à lire que celle de l’approche nommée. Enfin, dans la dernière partie de cette thèse, nous étudions les structures algébriques que les opétopes décrivent. Ces structures, que nous appelons algèbres opétopiques,généralisent les catégories, les opérades planaires, et les combinades des arbres planaires de Loday. Nous commençons pas étendre les monades génératrices à des catégories d’ensemble opétopiques tronqués, de sorte à ce que les algèbres opétopiques ne soient simplement que des algèbres sur ces extensions. Nous introduisons la catégories des formes opétopiques, et en mettant à contribution la théorie des adjoints à droite paramétriques de Weber, nous montrons que les algèbres opétopiques peuvent se comprendre comme des préfaisceaux satisfaisant certaines conditions de relèvement unique. Nous nous intéressons ensuite à la notion l’algèbre faible. En se basant sur les théories existantes dans le cas simplicial et dendroïdal, nous en donnons trois interprétations: les ∞-algèbres opétopiques, les espaces de Segal complets,et les algèbres opétopiques à homotopies cohérentes près. Nous montrons que certains résultats classiques de Rezk, Joyal–Tierney, et Horel (pour les ∞-catégories), et de Cisinski–Moerdijk (pour les ∞-opérades) peuvent être reformulés et généralisés dans ce cadre. En particulier, ces trois modèles sont équivalents