Endomorphisms of projective algebraic varieties

Endomorphismes des variétés algébriques projectives Cette thèse vise à explorer les schémas d'endomorphismes des variétés algébriques projectives. Voici un aperçu de son contenu :Après avoir introduit les principaux objets d'étude, nous examinons divers exemples de schémas d'endomorphismes en petites dimensions, en cherchant à relier la géométrie d'un schéma projectif à celle de son schéma d'endomorphismes : nous décrivons le schéma d'endomorphismes d'un schéma fini, et donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour que le schéma d'endomorphismes d'un schéma projectif soit affine, fini, ou fini étale. Nous traitons ensuite les schémas d'endomorphismes des courbes projectives lisses selon leur genre. Notamment, tous ces schémas d'endomorphismes s'avèrent être lisses. Deux points particulièrement intéressants sont : la description explicite de la structure de schéma en monoïdes de ces schémas d'endomorphismes, et l'étude du sous-schéma ouvert d'automorphismes.Dans la deuxième partie de la thèse, nous rappelons la construction du schéma des composantes connexes pour un schéma localement de type fini. Pour les schémas d'endomorphismes de variétés projectives, nous montrons que le sous-schéma d'automorphismes est une réunion de composantes connexes du schéma d'endomorphismes, et que le sous-schéma consistant des endomorphismes constants forme une composante connexe du schéma d'endomorphismes. Nous démontrons un résultat principal énonçant qu'un endomorphisme d'une variété projective est un automorphisme si et seulement s'il est de degré un (c'est-à-dire s'il est birationnel).Nous utilisons ensuite l'action des endomorphismes sur les faisceaux inversibles par tiré en arrière pour établir un énoncé de finitude concernant le schéma des composantes connexes du schéma d'endomorphismes d'une variété projective, généralisant ainsi un résultat du folklore pour les schémas d'automorphismes.Nous nous établissons ensuite plusieurs résultats de bornitude : d'abord « localement » sur les sous-groupes maximaux des schémas des composantes connexes du schéma d'endomorphismes d'une variété projective, puis étendus « globalement » dans plusieurs cas - à savoir, les variétés abéliennes, les courbes projectives, les surfaces projectives géométriquement normales, les variétés dont le cône des courbes est polyédral, et les variétés complexes satisfaisant la conjecture du cône de Kawamata-Morrison. Enfin, quelques exemples relatifs aux surfaces réglées sont compilés.La dernière partie de la thèse explore certains aspects dynamiques des endomorphismes des variétés projectives. Nous commençons par définir l'image itérée d'un tel endomorphisme, et procédons à la caractérisation de ces images dans le cas des variétés projectives normales. De plus, nous caractérisons les courbes projectives apparaissant comme images itérées d'un endomorphisme d'une variété projective normale, dans le cas où le corps de base est algébriquement clos et de caractéristique nulle. Nous introduisons ensuite une notion dynamique de la factorisation de Stein, et établissons certains de ses liens avec les images itérées. Les principaux résultats de cette partie cherchent à explorer la notion d'endomorphisme algébrique, dont la compréhension repose sur une classe de groupes algébriques appelés monothétiques.La thèse a mis en lumière de nombreuses connexions intrigantes avec divers domaines de la géométrie algébrique, tels que la théorie des intersections, les géométries birationnelle et complexe, et la théorie des groupes algébriques. En outre, un certain nombre de questions ouvertes sont apparues au cours de la préparation de cette thèse.D'autres domaines d'exploration future incluent l'étude des surfaces projectives sous différentes perspectives, telles que la structure de leurs schémas d'endomorphismes, et les propriétés de finitude que leurs schémas de composantes connexes peuvent présenter. Pour aborder ces questions, il faudra approfondir la compréhension de la géométrie des surfaces.